Question

如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、BC的中点，DE与AF交于点P，点Q在线段DE上，且AQ∥PC，求梯形APCQ的面积与平行四边形ABCD的面积的比值．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：首先连接EF，BP，AC，DF，设S_?ABCD=a，由E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、BC的中点，易求得S_△ADE=S_△ABF=

a

4

，继而可得EP：PD=1：4，然后设S_△AEP=x，则S_△ADP=4x，由S_△APD=S_{四边形BEPF}，可得

a

4

-x=4x，即可求得△AEP与△APD的面积，又由AQ∥PC，继而求得各部分的面积，即可求得答案．

解答：解：连接EF，BP，AC，DF，
设S_?ABCD=a，
∵E、F分别是平行四边形ABCD的边AB、BC的中点，
∴S_△ADE=S_△ABF=

a

4

，
∴S_△APD=S_{四边形BEPF}，
∵S_△AEF=

a

8

，S_△ADF=

a

2

，
∴

EP

PD

=

a 8

a 2

=

1

4

，
设S_△AEP=x，则S_△ADP=4x，
∵S_△APD=S_{四边形BEPF}，
∴

a

4

-x=4x，
解得：x=

a

20

，
∴S_△APD=4×

a

20

=

a

5

，
∵AQ∥PC，
∴S_△APQ=S_△ACQ，
∴S_△ACQ+S_△ADQ=

a

5

，
∴S_△CDQ=

a

2

-

a

5

=

3a

10

，
∵S_△EBP=S_△AEP=

a

20

，S_△ABP+S_△CDP=

a

2

，
∴S_△APD=

a

2

-S_△ABP-S_△CDQ=

a

2

-

a

10

-

3a

10

=

a

10

，
∴

PQ

PD

=

S△CPQ

S△CQD

=

a 10

3a 10

=

1

3

，
∴

PQ

PD

=

1

4

，
∴S_△APQ=

1

4

S_△APD=

a

20

，
∴S_梯形APCQ=S_△APQ+S_△CPQ=

a

20

+

a

10

=

3a

20

，
∴

S梯形APCQ

S平行四边形ABCD

=

3

20

．

点评：此题考查了面积与等积变换的知识．此题难度较大，注意等高三角形面积的比等于其对应底的比的性质的应用，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．