【题目】如图,AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,点A为切点,BP与⊙O交于点C,点D是AP的中点,连结CD.
(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若AB=2,∠P=30°,求阴影部分的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2).
【解析】
(1)连结OC,AC,由圆周角定理和切线的性质得出∠ABP=90°,∠ACP=90°,由直角三角形斜边上的中线性质得出DC=AP=DA,由等腰三角形的性质得出∠DAC=∠DCA,∠OAC=∠OCA,证出∠OCD=90°,即可得出结论;
(2)由含30°角的直角三角形的性质得出BP=2AB=4,由勾股定理求出AP,再由直角三角形斜边上的中线性质得出CD的长即可.
(1)连结OC,AC,如图所示:
∵AB是⊙O的直径,AP是切线,
∴∠BAP=90°,∠ACP=90°,
∵点D是AP的中点,
∴DC═AP=DA,
∴∠DAC=∠DCA,
又∵OA=OC,
∴∠OAC=∠OCA,
∴∠OCD=∠OCA+∠DCA=∠OAC+∠DAC=90°,
即OC⊥CD,
∴CD是⊙O的切线;
(2)∵在Rt△ABP中,∠P=30°,
∴∠B=60°,
∴∠AOC=120°,
∴OA=1,BP=2AB=4,,
∴=.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,将一块含有45°角的直角三角板如图放置,直角顶点C的坐标为(1,0),顶点A的坐标为(0,2),顶点B恰好落在第一象限的双曲线上,现将直角三角板沿x轴正方向平移,当顶点A恰好落在该双曲线上时停止运动,则此时点C的对应点C′的坐标为( )
A. (,0) B. (2,0) C. (,0) D. (3,0)
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【题目】如图,在△ABC中,AD是△ABC的高线,CE是△ABC的角平分线,它们相交于点P.
(1)若∠B=40°,∠AEC=75°,求证:AB=BC;
(2)若∠BAC=90°,AP为△AEC边EC上中线,求∠B的度数.
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【题目】如图所示,两个含有30°角的完全相同的三角板ABC和DEF沿直线l滑动,下列说法错误的是( )
A. 四边形ACDF是平行四边形 B. 当点E为BC中点时,四边形ACDF是矩形
C. 当点B与点E重合时,四边形ACDF是菱形 D. 四边形ACDF不可能是正方形
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【题目】黄岩岛自古以来就是中国的领土,如图,为维护海洋利益,三沙市一艘海监船在黄岩岛附近海域巡航,某一时刻海监船在A处测得该岛上某一目标C在它的北偏东45°方向,海监船沿北偏西30°方向航行60海里后到达B处,此时测得该目标C在它的南偏东75方向,求此时该船与目标C之间的距离CB的长度,(结果保留根号)
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【题目】如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,且DE=,△ABF是△ADE的旋转图形
(1)旋转中心是哪一点?
(2)旋转了多少度?
(3)AF的长度是多少?
(4)如果连结EF,那么△AEF是怎样的三角形?
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【题目】如图1,在平面直角坐标系,O为坐标原点,点A(﹣2,0),点B(0,2).
(1)直接写求∠BAO的度数;
(2)如图1,将△AOB绕点O顺时针得△A′OB′,当A′恰好落在AB边上时,设△AB′O的面积为S1,△BA′O的面积为S2,S1与S2有何关系?为什么?
(3)若将△AOB绕点O顺时针旋转到如图2所示的位置,S1与S2的关系发生变化了吗?证明你的判断.
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【题目】如图,二次函数y=x2﹣6x+5的图象交x轴于A、B两点,交y轴于点C,连接BC.
(1)直接写出点B、C的坐标,B ;C .
(2)点P是y轴右侧拋物线上的一点,连接PB、PC.若△PBC的面积15,求点P的坐标.
(3)设E为线段BC上一点(不含端点),连接AE,一动点M从点A出发,沿线段AE以每秒一个单位速度运动到E点,再沿线段EC以每秒2个单位的速度运动到C后停止,当点E的坐标是 时,点M在整个运动中用时最少,最少用时是 秒.
(4)若点Q在y轴上,当∠AQB取得最大值时,直接写出点Q的坐标 .
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