Question

3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A．B两点，点A在x轴负半轴，点B在x轴正半轴，与y轴交于点C，顶点为D．
（1）求点D的坐标；
（2）求△ABC的面积；
（3）判断△BCD的形状，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接利用配方法求出二次函数定点坐标即可；
（2）首先求出A，B点坐标，进而得出C点坐标求出△ABC的面积即可；
（3）首先得出△CED是等腰直角三角形，进而得出△BOC是等腰直角三角形，即可得出答案．

解答 解：（1）y=x²-2x-3=（x-1）²-4
∴点D的坐标为（1，-4）；

（2）令y=0，则x²-2x-3=0
解得x₁=-1，x₂=3，
∴A（-1，0），B（3，0），AB=4，
把x=0时代数y=x²-2x-3，得y=-3
∴C（0，-3），OC=3，
S△ABC=$\frac{1}{2}AB•OC=\frac{1}{2}×4×3=6$；

（3）△BCD是直角三角形．
作DE⊥y轴，垂足为E，则有DE=1，CE=OE-OC=4-3=1，
∴DE=CE，
∴△CED是等腰直角三角形，
∴∠DCE=45°，
∵OB=OC=3，∠BOC=90°，
∴△BOC是等腰直角三角形，
∴∠BCO=45°
∴∠BCD=180°-45°-45°=90°，
∴△BCD是直角三角形．

点评 此题主要考查了抛物线与x轴交点以及等腰直角三角形的性质，得出A，B点坐标是解题关键．