Question

如图，在⊙O中，AB为直径，AD为弦，过D点的直线与AB的延长线交于点C．
（1）若∠A=25°，∠C=40°，求证：CD是⊙O的切线；
（2）当∠A与∠C满足什么关系时，直线CD与⊙O相切．请直接写出你得到的结论；
（3）若CD是⊙O的切线，且AB=14，BC：DC=3：4，求OC的长．

Answer 1

解：（1）证明：连接OD，
∵OA=OD，
∴∠B=∠ADO=25°，
∴∠DOC=25°+25°=50°，
∴∠ODC=180°-∠C-∠DOC=90°，
∴CD是⊙O的切线．

（2）当2∠A+∠C=90°时，直线CD与⊙O相切．

（3）设DC=4x，BC=3x，
由切割线定理得：（4x）²=3x（3x+14），
∴x=6，
∴OC=3x+7=25，
答：OC的长是25．
分析：（1）连接OD，根据三角形外角性质求出∠AOC，根据三角形内角和定理求出∠OAC即可；
（2）根据2∠A+∠C=90°求出∠C=30°，根据三角形的内角和定理求出∠OAC的度数即可；
（3）设AC=4x，FC=3x，由切割线定理得到（4x）²=3x（3x+14），求出方程的解即可．
点评：本题主要考查对三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，三角形的外角性质，切线的性质和判定，解一元二次方程等知识点的连接和掌握，熟练地运用这些性质进行推理是解此题的关键．