解:(1)设AB的解析式为y=kx+b,
把A(8,0)、B(0,
)分别代入解析式得,
,
解得k=-
,
则函数解析式为y=-
x+8
.
将y=-
x+8
和y=
x组成方程组得,
,
解得
.
故得C(4,
),
∴t的取值范围是:0≤t≤4;
(2)作EM⊥y轴于M,DG⊥y轴于点G,
∵D点的坐标是(t,
),E的坐标是(t,
)
∴DE=
-
=
;
∴等边△DEF的DE边上的高为:
DE=12-3t;
根据E点的坐标(t,
),以及∠MNE=60°,
故ME=t,MN=tan30°ME=
t,
同理可得:GH=
t,
∴可求梯形上底为:
-
,
∴当点F在BO边上时:12-3t=t,
∴t=3,
当0≤t<3时,重叠部分为等腰梯形,可求梯形面积为:
S=
=
=
;
当3≤t≤4时,重叠部分为等边三角形
S=
=
;
(3)存在,P(
,0);
说明:∵FO≥
,FP≥
,OP≤4,△DEF是等边三角形,
∴以P,O,F为顶点的等腰三角形,腰只有可能是FO,FP,
若FO=FP时,t=2(12-3t),
解得:t=
,
∴P(
,0).
分析:(1)要求C点的坐标,应先根据题意得出直线AB的方程,再与y=
联立,得出的交点的坐标即为C点的坐标.而t的取值范围的最大值只要用C点横坐标除以1即可.
(2)解此题时可设D、E两点的横坐标为t,再根据l与AB、y=
两条直线相交即可得出D、E关于t的坐标.再根据等边三角形各个角均为60°,做DE边上的高,运用勾股定理即可得出高的长度(关于t).再分别讨论t的取值,画出图形,代入各自对应的面积公式,化简后即可得出S关于t的方程.
(3)要使△FOP为等腰三角形,则腰只能是OF、FP,由此只要设出P、F两点的坐标,根据两点之间的坐标公式,得出关于t的代数式,令OF=FP,结合t的取值,即可得出答案.
点评:本题是一个综合题,主要考查了一次函数的性质,等边三角形的性质,以及规则图形的面积计算.在解本题时要注意讨论t的取值范围.