Question

【题目】如图，圆心都在x轴正半轴上的半圆O1，半圆O2，…，半圆On与直线相切，设半圆O1，半圆O2，…，半圆On的半径分别是r1，r2，…，rn，则当r1=1时，r2015= ．

Answer 1

【答案】32014．

【解析】试题分析：过C1、C2、C3、…、Cn作直线的垂线，垂足分别为A1、A2、A3、An，如图，根据切线的性质得C1A1⊥OA1，C2A2⊥OA2，C3A3⊥OA，…，CnAn⊥OAn，再确定直线与x轴的正半轴的夹角为30°，接着利用两圆相切的性质得到C1C2=r1+r2，C2C3=r2+r3，…，然后根据含30度的直角三角形三边的关系，在Rt△OC1A1中得到OC1=2C1A1=2，在Rt△OC2A2中得到2+1+r2=2r2，解得r2=3=31，在Rt△OC3A3中得到6+3+r3=2r3，解得r3=9=32，再观察计算出来的半径得到半径都是3的正整数指数幂，且指数比序号数小1，于是得rn=3n﹣1．

试题解析：过C1、C2、C3、…、Cn作直线的垂线，垂足分别为A1、A2、A3、An，如图，

∵a个半圆弧都与直线y=x相切，

∴C1A1⊥OA1，C2A2⊥OA2，C3A3⊥OA，…，CnAn⊥OAn，

∵x=1时，y=x=，

∴直线y=x与x轴的正半轴的夹角为30°，

∵a个半圆弧依次相外切，

∴C1C2=r1+r2，C2C3=r2+r3，…，

在Rt△OC1A1中，OC1=2C1A1=2，

在Rt△OC2A2中，OC2=2C2A2，则2+1+r2=2r2，解得r2=3=31，

在Rt△OC3A3中，OC3=2C3A3，则6+3+r3=2r3，解得r3=9=32，

在Rt△OC4A4中，OC4=2C4A4，则18+9+r4=2r4，解得r4=27=33，

由此可得rn=3n﹣1．

∴r2015=32014．