Question

15．如图，直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1与x轴交于A，y轴交于B，△AOB和△ACB关于这条直线对称，则点C的坐标为（　　）

• A． （-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）
• B． （-$\frac{3}{2}$，$\frac{\sqrt{5}}{2}$）
• C． （-1，2）
• D． （-$\frac{\sqrt{5}}{2}$，$\frac{3}{2}$）

Answer 1

分析 过点C作CD⊥y轴于点D，根据直线AB的解析式结合一次函数图象上点的坐标特征即可求出点A、B的坐标，结合特殊角的三角函数值即可求出∠ABO=60°，根据翻折得性质以及角的计算即可得出∠CBD=60°，再在Rt△BCD中求出BD、CD的长度，由此即可得出点C的坐标．

解答 解：过点C作CD⊥y轴于点D，如图所示．
令y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1中x=0，则y=1，
∴B（0，1）；
令y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+1中y=0，则x=-$\sqrt{3}$，
∴A（-$\sqrt{3}$，0）．
∴OB=1，OA=$\sqrt{3}$，
∵tan∠ABO=$\frac{OA}{OB}$=$\sqrt{3}$，且∠ABO为锐角，
∴∠ABO=60°．
由翻折可知：∠ABC=∠ABO=60°，BC=BO=1，
∴∠CBD=180°-∠AOB-∠ABC=60°．
在Rt△BCD中，BC=1，∠BDC=90°，
∴CD=BC•sin∠CBD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，BD=BC•cos∠CBD=$\frac{1}{2}$．
OD=OB+BD=$\frac{3}{2}$，
∴C（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3}{2}$）．
故选A．

点评 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、特殊角的三角形函数值以及解直角三角形，解题的关键是求出CD、OD的长度．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，通过构造直角三角形，将求点的坐标转化成求出线段的长是关键．