Question

【题目】如图，抛物线y＝﹣x2+4交x轴于点A、B，交y轴于点C，连结AC，BC，D是线段OB上一动点，以CD为一边向右侧作正方形CDEF，连结BF，交DE于点P.

(1)试判断△ABC的形状，并说明理由；

(2)求证：BF⊥AB.

(3)当点D从点O沿x轴正方向移动到点B时，点E所走过的路线长为______；

(4)探究当点D在何处时，△FBC是等腰三角形，并求出相应的BF的长.

Answer 1

【答案】(1)△ABC是等腰直角三角形；理由见解析；(2)证明见解析；(3)；(4)AD＝CD时，BF＝4；AC＝AD时，BF＝4；AC＝BC时，BF＝8.

【解析】

(1)根据二次函数与坐标轴的交点的求法求出A、B、C，再求出OA、OB、OC，然后根据等腰直角三角形的判定解答；

(2)根据等腰直角三角形的性质和正方形的性质，求出AC＝BC，CD＝CF，∠ACD＝∠BCF，然后利用“边角边”证明△ACD和△BCF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠CBF＝∠CAD＝45°，然后求出∠ABF＝90°，再根据垂直的定义证明即可；

(3)过点E作EH⊥x轴于H，连接BE，求出∠OCD＝∠HDE，然后利用“角角边”证明△OCD和△HDE全等，根据全等三角形对应边相等可得EH＝OD，OC＝DH，然后求出△BEH是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质表示出BE，从而判断出点E走过的路线长为BC的长度，然后求解即可；

(4)根据全等三角形对应边相等可得AD＝BF，利用勾股定理列式求出AC，然后分AD＝CD，AC＝AD，AC＝BC三种情况讨论求解得到AD，即为FB的长.

(1)解：令x＝0，得y＝4，

∴C(0，4)，

令y＝0，则﹣x2+4＝0，

解得：x1＝4，x2＝﹣4，

∴A(﹣4，0)，B(4，0)，

∴OA＝OB＝OC＝4，

∴△ABC是等腰直角三角形；

(2)证明：如图，

∵△ABC是等腰直角三角形，CDEF是正方形，

∴AC＝BC，CD＝CF，∠ACD＝∠BCF，

在△ACD和△BCF中，，

∴△ACD≌△BCF(SAS)，

∴∠CBF＝∠CAD＝45°，

∴∠ABF＝∠ABC+∠CBF＝90°，

∴BF⊥AB；

(3)如图，过点E作EH⊥x轴于H，连接BE，

∵∠OCD+∠ODC＝∠HDE+∠ODC＝90°，

∴∠OCD＝∠HDE，

在△OCD和△HDE中，，

∴△OCD≌△HDE(AAS)，

∴EH＝OD，OC＝DH，

∵OD+BD＝OB＝OC，

BH+BD＝DH，

∴OD＝BH＝EH，

∴△BEH是等腰直角三角形，

∴BE＝EH，

∵点D从点O沿x轴正方向移动到点B，

∴点E所走过的路线长为为BC的长度，是4；

故答案为：4.

(4)∵△ACD≌△BCF，

∴AD＝BF，

由勾股定理得，AC＝＝＝4，

①若AD＝CD，则点O、D重合，BF＝AO＝4，

②若AC＝AD，则BF＝AD＝4，

③若AC＝BC，则BF＝AD＝AB＝8，

综上所述，BF＝4或4或8.