Question

【题目】如图，在△ABC中，CA=CB=10，AB=12，以BC为直径的圆⊙O交AC于点G，交AB于点D，过点D作⊙O的切线，交CB的延长线于点E，交AC于点F．则下列结论：①DF⊥AC；②DO=DB；③cos∠E=．正确的是__.

Answer 1

【答案】①③

【解析】

首先连接OD,由CA=CB，OB=OD,易证得OD∥AC,又由DF是O的切线,即可证得①;首先连接BG,CD,可求得CD的长,然后由ABCD=2S△ABC=AC×BG,求得BG的长,易证得BG∥EF,即可得cos∠E =cos∠CBG=即可得出③

证明:连接OD,

∴CA=CB,OB=OD,

∴∠A=∠ABC,∠ABC=∠ODB,

∴∠A=∠ODB

∴OD∥AC

∵DF是O的切线,

∴OD⊥DF

∴DF⊥AC.故①正确

连接BG,CD

∵BC是直径,

∴∠BDC=90°,

∵CA=CB=10

∴AD= BD= AB==6

CD=

∵AB·CD =2S△ABC=AC·BG,

∴BG=

∵BG⊥AC,DF⊥AC

∴BG∥EF，

∴∠E=∠CBG,

∴cos∠E=cos∠CBG= ,

∴③正确

故答案为：①③