Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，点O在△ABC的内部，⊙O经过B，C两点，交AB于点D，连接CO并延长交AB于点G，以GD，GC为邻边作GDEC．

（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．

（2）若点B是的中点，⊙O的半径为2，求的长．

Answer 1

【答案】（1）DE是⊙O的切线，理由见解析；（2）π

【解析】

(1) 连接OD，由题意可得∠ABC＝45°，再结合圆周角定理可得∠COD＝2∠ABC＝90°，再由平行四边形GDEC可得，∠EDO+∠COD＝180°，即∠EDO=90°，即可完成证明;

(2) 连接OB，可得点B是的中点，进一步说明∠BOC＝∠BOD，在确定∠BOC的度数，最后用弧长公式求解即可·

解：（1）DE是⊙O的切线；理由如下：

连接OD，

∵∠ACB＝90°，CA＝CB，

∴∠ABC＝45°，

∴∠COD＝2∠ABC＝90°，

∵四边形GDEC是平行四边形，

∴DE∥CG，

∴∠EDO+∠COD＝180°，

∴∠EDO＝90°，

∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（2）连接OB，

∵点B是的中点，

∴，

∴∠BOC＝∠BOD，

∵∠BOC+∠BOD+∠COD＝360°，

∴∠BOC==135°

∴的长＝＝π．