Question

已知△ABC（如图所示）．
（1）在图中找出重心O；
（2）设BC，AC，AB边的中点为M，N，G，度量OM和OA，ON与OB，OG与OC，根据度量的结果，猜想三角形的重心到三角形顶点的距离与到对边中点的距离之间的距离，并给予证明．

Answer 1

分析：（1）各中线的交点叫重心．
（2）根据度量的结果得出结论，进而进行证明．作出长边的中点利用三角形中位线定理得到平行四边形，根据平行四边形的性质求证即可．

解答：解：（1）用尺规作图作出△ABC三边的中线AM，BN，CG，设它们的交点为O，则O为△ABC的重心

（2）通过度量发现：AO=2OM，BO=2ON，CO=2OG
猜想：三角形的重心O到三角形顶点的距离等于它到对边中点的距离的两倍．
证明：如图所示，取BO，CO的中点K，H，连接KH，HN，NG，KG，
∵G，N分别是AB，AC的中点，
∴GN平行且等于

1

2

BC．
又∵K，H分别是OB，OC边的中点，
∴KH平行且等于

1

2

BC．
∴GN平行且等于KH．
∴四边形KHNG是平行四边形．
∴GO=OH，NO=KO．
而BK=KO，CH=HO，
∴BO=2ON，CO=2OG．
若取AO的中点R，
同理，可证AO=2OM．
∴AO=2OM，BO=2ON，CO=2OG．

点评：本题考查重心的定义，利用三角形中位线定理判断出平行四边形．需注意三角形问题常转换为平行四边形问题来解决．