Question

2．如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=8cm，AD=16cm，BC=22cm，∠ABC=90°，点P从点A出发，以1cm/s的速度向点D运动，点Q从点C同时出发，以3cm/s的速度向点B运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，四边形ABQP成为矩形？
（2）当为何值时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形？
（3）四边形PBQD是否能成为菱形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由，并探究如何改变Q点的速度（匀速运动），使四边形PBQD在某一时刻为菱形，求点Q的速度．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质，对边相等建立方程求解即可；
（2）分两种情况，利用平行四边形的性质对边相等建立方程求解即可得出结论；
（3）先由平行四边形建立方程求出时间，再判定邻边是否相等，判断出不能是菱形，设出点Q的运动速度，用菱形的性质建立方程求解即可求出速度．

解答 解：（1）∵∠ABC=90°，AP∥BQ，
∴当AP=BQ时，四边形ABQP成为矩形，
由运动知，AP=t，CQ=3t，
∴BQ=22-3t，
∴t=22-3t，解得t=$\frac{11}{2}$．
∴当t=$\frac{11}{2}$时，四边形ABQP成为矩形；

（2）∵当P、Q两点与A、B两点构成的四边形是平行四边形时，就是（1）中的情形，此时t=$\frac{11}{2}$．
当P、Q两点与C、D两点构成的四边形是平行四边形时，
∵PD∥QC，
∴当PD=QC时，四边形PQCD为平行四 边形．
此时，16-t=3t，t=4；
故当t=或t=4时，以点P、Q与点A、B、C、D中的任意两个点为顶点的四边形为平行四边形．

（3）四边形PBQD不能成为菱形．理由如下：
∵PD∥BQ，
∴当PD=BQ=BP时，四边形PBQD能成为菱形．
由PD=BQ，得16-t=22-3t，解得t=3，
当t=3时，PD=BQ=13，AP=AD-PD=16-13=3．
在Rt△ABP中，AB=8，根据勾股定理得，BP═$\sqrt{A{B}^{2}+A{P}^{2}}$=$\sqrt{64+9}$=$\sqrt{73}$≠13
∴四边形PBQD不能成为菱形；
如果Q点的速度改变为vcm/s时，能够使四边形PBQD在时刻ts为菱形，
由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{16-t=22-vt}\\{16-t=\sqrt{64+{t}^{2}}}\end{array}\right.$，解得，$\left\{\begin{array}{l}{t=6}\\{v=2}\end{array}\right.$．
故点Q的速度为2cm/s时，能够使四边形PBQD在某一时刻为菱形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，解本题的关键是用方程（组）的思想解决问题，是一道中考常考题．