Question

14．已知：如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：
（1）△BFC≌△DFC；
（2）BC=CE+AD．

Answer 1

分析 （1）首先根据角平分线的性质，可得∠BCF=∠DCF，再由条件DC=BC，CF=CF，即可证明△BFC≌△DFC；
（2）先延长DF交BC于G，首先证明△BFG≌△DFE，根据全等三角形的性质可得DE=BG，再证明四边形ABGD是平行四边形，可得AD=BG，进而得到DE=AD，根据线段的和差关系即可得出BC=CE+AD．

解答 证明：（1）∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF，
在△DCF和△BCF中
$\left\{\begin{array}{l}{DC=BC}\\{∠DCF=∠BCF}\\{CF=CF}\end{array}\right.$，
∴△BFC≌△DFC（SAS）；

（2）∵△BFC≌△DFC，
∴BF=DF，∠CBF=∠CDF，
又∵∠BFG=∠DFE，
∴△BFG≌△DFE（ASA），
∴BG=DE，
∵AD∥BC，DG∥AB，
∴四边形ABGD是平行四边形，AD=BG，
∴AD=DE，
∴BC=CE+DE=CE+AD．

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质的综合应用，解题时注意：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．