Question

如图，已知抛物线y＝ax²＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C， D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．

（1）求这条抛物线对应的函数关系式；
（2）连结BD，试判断BD与AD的位置关系，并说明理由；
（3）连结BC交直线AD于点M，在直线AD上，是否存在这样的点N（不与点M重合），使得以A、B、N为顶点的三角形与△ABM相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）根据△ABE与△ABC的面积之比为3∶2及E（2，6），可得C（0，4）.
∴D（0，2）. 由D（0，2）、E（2，6）可得直线AD所对应的函数关系式为y＝2x＋2.
当y＝0时，2x＋2＝0，解得x＝－1. ∴A（－1，0）.
由A（－1，0）、C（0，4）、E（2，6）求得抛物线对应的函数关系式为
y＝－x²＋3x＋4.
（2）BD⊥AD.
求得B（4，0），通过相似或勾股定理逆定理证得∠BDA＝90°，即BD⊥AD.
（3）法1：求得M（，），AM＝. 由△ANB∽△ABM，得＝，即AB²＝AM·AN，
∴5²＝·AN，解得AN＝3.从而求得N（2，6）.
法2：由OB＝OC＝4及∠BOC＝90°得∠ABC＝45°.
由BD⊥AD及BD＝DE＝2得∠AEB＝45°.
∴△AEB∽△ABM，即点E符合条件，∴N（2，6）.

解析