Question

6．著名数学教育家G•波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先观察下列等式找出规律，并解答问题．
①1³=1²；
②1³+2³=3²；
③1³+2³+3³=6²；
④1³+2³+3³+4³=10²；
…
（1）等式⑤是1³+2³+3³+4³+5³=15²．
（2）1³+2³+3³+…+n³=$\frac{1}{4}$n²（n+1）²（n为正整数）．
（3）求（-11）³+（-12）³+（-13）³+…+（-20）³的值．

Answer 1

分析 （1）（2）由题意可知：从1开始连续自然数的立方和等于这些自然数和的平方，由此规律得出答案即可；
（3）计算从-1到-20的立方和，再减去-1到-10的立方和即可．

解答 解：（1）等式⑤是1³+2³+3³+4³+5³=15²；
（2）1³+2³+3³+…+n³=（1+2+3+4+…+n）²=$\frac{1}{4}$n²（n+1）²（n为正整数）．
（3）（-11）³+（-12）³+（-13）³+…+（-20）³
=（-1）³+（-2）³+（-3）³+…+（-20）³-[（-1）³+（-2）³+（-3）³+…+（-10）³]
=-（1+2+3+…+20）²+（1+2+3+4+…+10）²
=-210²+55²
=-44100+3025
=-41075．

点评 此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．