Question

13．如图，点E是正方形ABCD的边BC中点，FG过点E分别交AB、AC于F、G
（1）如图1，AB=4BF，直接写出结果CG：AG=1：5；
（2）如图2，DF、DG分别交BC于M、N，求证：BM=CN；
（3）如图3，AB=4，FG⊥AC直接写出结果S_△CNG=$\frac{2}{3}$

Answer 1

分析 （1）延长FG交CD于M，根据△BFE∽△CME，得到$\frac{BF}{CM}$=$\frac{BE}{CE}$，再根据△CMG∽△AFG，即可得到$\frac{CG}{AG}$=$\frac{CM}{AF}$=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{5}$；
（2）延长FG交CD于H，根据AB∥CD，CH=BF，可得$\frac{BF}{AF}$=$\frac{CG}{AG}$，再根据AD∥BM，AD∥CN，即可得出$\frac{BM}{AD}$=$\frac{CN}{AD}$，进而得到BM=CN；
（3）先根据△AFG、△BEF都是等腰直角三角形，得出BE=BF=$\frac{1}{2}$BC=2，AF=4+2=6，AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF=3$\sqrt{2}$，再根据$\frac{CN}{AD}$=$\frac{1}{3}$，可得CN=$\frac{4}{3}$，最后作GK⊥BC于K，则△CGK为等腰直角三角形，根据GK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CG=1，即可得出S_△CNG=$\frac{1}{2}$CN×GK=$\frac{2}{3}$．

解答 解：（1）CG：AG=1：5．
理由：如图1，延长FG交CD于M，
∵AB=4BF，
∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{5}$，
∵BF∥CM，
∴△BFE∽△CME，
∴$\frac{BF}{CM}$=$\frac{BE}{CE}$，
又∵点E是BC的中点，
∴BF=CM，
∵AF∥CM，
∴△CMG∽△AFG，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{CM}{AF}$=$\frac{BF}{AF}$=$\frac{1}{5}$，
故答案为：$\frac{1}{5}$；

（2）证明：如图2，延长FG交CD于H，
∵AB∥CD，
∴$\frac{CH}{AF}$=$\frac{CG}{AG}$，
由（1）可得，CH=BF，
∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{CG}{AG}$，
∵AD∥BM，AD∥CN，
∴$\frac{BF}{AF}$=$\frac{BM}{AD}$，$\frac{CG}{AG}$=$\frac{CN}{AD}$，
∴$\frac{BM}{AD}$=$\frac{CN}{AD}$，
∴BM=CN；

（3）S_△CNG=$\frac{2}{3}$．
理由：∵FG⊥AC，∠FAG=45°，
∴∠AFG=45°=∠BEF，
∴△AFG、△BEF都是等腰直角三角形，
∴BE=BF=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴AF=4+2=6，AG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AF=3$\sqrt{2}$，
又∵AC=$\sqrt{2}$AB=4$\sqrt{2}$，
∴CG=AC-AG=$\sqrt{2}$，
∴$\frac{CG}{AG}$=$\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{CN}{AD}$=$\frac{1}{3}$，即$\frac{CN}{4}$=$\frac{1}{3}$，
∴CN=$\frac{4}{3}$，
如图3，作GK⊥BC于K，则△CGK为等腰直角三角形，
∴GK=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CG=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$\sqrt{2}$=1，
∴S_△CNG=$\frac{1}{2}$CN×GK=$\frac{1}{2}$×$\frac{4}{3}$×1=$\frac{2}{3}$．
故答案为：$\frac{2}{3}$．

点评 本题属于四边形综合题，主要考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形以及等腰直角三角形，依据相似三角形的对应边成比例进行推导计算．在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用．