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7.如图,在平面直角坐标系中,OB=OA=6,OC=12,点P从A出发运动到C点,将BP绕P顺时针旋转90°得到点Q,求在整个运动的过程中,Q点滑过的长度为6$\sqrt{2}$.

分析 如图连接PB、BQ、PQ,作QH⊥x轴于H,首先证明∠QAH=45°,设点P与A重合时,点Q在Q′处,点P与C重合时,点Q在Q″处,推出点Q的运动轨迹是线段Q′Q″.

解答 解:如图连接PB、BQ、PQ,作QH⊥x轴于H.

∵PB=PQ,∠BPQ=90°,
∴∠BPO+∠OBP=90°,∠OPB+∠QPH=90°,
∴∠OBP=∠HPQ,∵∠POB=∠QHP=90°,
∴△OPB≌△HQP,
∴OB=PB=OA=6,OP=QH,
∵OP=6+OP,AH=AP+6,
∴OP=AH=QH,
∴∠QAH=45°,
设点P与A重合时,点Q在Q′处,点P与C重合时,点Q在Q″处.
∴点Q的运动轨迹是线段Q′Q″.
当点P与C重合时,P′B=$\sqrt{O{B}^{2}+O{C}^{2}}$=6$\sqrt{5}$,AH′=H′Q′′=12,
∴AQ″=$\sqrt{2}$QH=12$\sqrt{2}$,∵AQ′=AB=6$\sqrt{2}$,
∴Q′Q″=12$\sqrt{2}$-6$\sqrt{2}$=6$\sqrt{2}$,
故答案为6$\sqrt{2}$.

点评 本题考查了坐标与图形变化-旋转,等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹,学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题.

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