Question

18、有1997盏亮着的电灯，各有一个拉线开关控制着，现按其顺序编号为l，2，…，1997，然后将编号为2的倍数的灯线拉一下；再将编号为3的倍数的灯线拉一下；最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，3次拉完后亮着的灯数为（　　）

A、1464盏

B、533盏

C、999盏

D、998盏

Answer 1

分析：由于有1997盏亮着的电灯，现按其顺序编号为l，2，…，1997，那么编号为2的倍数的灯有[（1997-1）÷2]只，编号为3的倍数的灯有[（1997-2）÷3]只，编号为5的倍数的灯的有[（1997-2）÷5]只，利用这些数据即可求出3次拉完后亮着的灯数．

解答：解：∵有1997盏亮着的电灯，现按其顺序编号为l，2，…，1997，
∴编号为2的倍数的灯有 （1997-1）÷2=998只，
编号为3的倍数的灯有 （1997-2）÷3=665只，
编号为5的倍数的灯的有（1997-2）÷5=399只，
其中既是3的倍数也是5的的倍数有（1997-2）÷15=133，
既是2的倍数也是3的的倍数有（1997-1）÷6≈332，
既是2的倍数也是5的的倍数有1997÷10≈199，
既是2的倍数也是5的的倍数，还是3的倍数有1997÷30≈66，
根据容斥关系998-332-199=467，665-332-133=200，399-199-133=67，
所以亮的就是1997-467-200-67-4×66=999只．
故选C．

点评：此题主要考查了整数的整除性问题，解题时根据数的整除性首先分别求出2、3、5的倍数的个数，然后列出6，15，10，30的倍数的个数，然后利用容斥关系即可解决问题．