Question

如图所示，AB切⊙O于点B，OA交⊙O于C点，过C作DC⊥OA交AB于D．
（1）求证：△COD≌△BOD；
（2）若∠A=32°，AD=8，求⊙O的半径（精确到0.01cm，sin32°≈0.530，cos32°≈0.848）．

Answer 1

分析：（1）根据OC⊥OA，OA过圆心可知，CD是⊙O的切线，根据切线的性质可知BD=CD，由SSS定理可知，△COD≌△BOD．
（2）根据∠A=32°，AD=8及三角函数的定义可求出CD、AC的长，再根据切割线定理即可求出OC的长．

解答：解：（1）∵OC⊥OA，OA过圆心，
∴CD是⊙O的切线，
∵AB是⊙O的切线，
∴BD=CD，
∵OB=OC，OD=OD，
∴△COD≌△BOD．

（2）∵∠A=32°，AD=8，∴CD=AD•sin∠A=8•sin32°，
由（1）可知，BD=CD，∴CD=AD•sin∠A=8•sin32°，
AC=AD•cos32°=8•cos32°，
∵BD=CD，
∴AB=8+8sin32，又tan32°=

OB

AB

，
∴OB=tan32°（8+8sin32°），
∴半径=tan32°（8+8sin32°）≈7.65．

点评：此题考查的是切线的性质定理及解直角三角形的相关知识、及切割线定理．