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如图所示:AP、PB、AB分别是三个半圆的直径,PQ⊥AB,面积为9π的圆O与两个半圆及PQ都相切,而阴影部分的面积是39π,则AB的长是   
【答案】分析:设最大圆的圆心O1,中园圆心O2,小圆O3,小圆半径y,中圆半径x,过O点作ON⊥AB于N,根据相切两圆的性质求出则OO1、OO3、O1N、O3N的长,由勾股定理得到方程求出xy=3(x+y),根据已知求出xy=48,代入即可求出AB.
解答:解:设最大圆的圆心O1,中园圆心O2,小圆O3,小圆半径y,中圆半径x,过O点作ON⊥AB于N,则OO1=x+y-3 OO3=y+3 O1N=O1P+PN=X-Y+3,O3N=Y-3,由勾股定理根据ON2=OO12-O1N2=OO32-O3N2
∴(x+y-3)2-(x-y+3)2=(y+3)2-(y-3)2
解方程得:xy=3(x+y),
因为图中阴影部分的面积是39π,
所以[π(x+y)2-πx2-πy2]-9π=39π,∴xy=48,x+y=16,
∴AB=32,故答案为:32.
点评:本题主要考查对相切两圆的性质,勾股定理等知识点的理解和掌握,能推出xy=3(x+y)和xy=48是解此题的关键.
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