Question

如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，AD=10cm．直角尺的直角顶点P在AD上滑动时（点P与A，D不重合），一直角边经过点C，另一直角边交AB于点E．
（1）试证明△APE∽△DCP；
（2）当P滑动到什么位置时，AE=

9

4

cm？
（3）当∠CPD=30°时，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）根据矩形的性质得∠A=∠D=90°，由∠EPC=90°得到∠APE+∠DPC=90°，根据等角的余角相等得∠AEP=∠DPC，然后根据相似三角形的判定方法即可得到结论；
（2）设AP=x，则PD=10-x，利用相似比得到AP：DC=AE：PD，即x：4=

9

4

：（10-x），然后解方程即可；
（3）根据含30度的直角三角形三边的关系得到PD=

3

DC=4

3

，AP=10-4

3

，然后利用相似比得到AP：DC=AE：PD得（10-4

3

）：4=AE：4

3

，再解方程即可．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，
∵∠EPC=90°，
∴∠APE+∠DPC=90°，
而∠AEP+∠APE=90°，
∴∠AEP=∠DPC，
∴△APE∽△DCP；

（2）解：设AP=x，则PD=10-x，
∵△APE∽△DCP，
∴AP：DC=AE：PD，即x：4=

9

4

：（10-x），解得x₁=1，x₂=9，
∴当P滑动到离A点1cm或9cm时，AE=

9

4

cm；

（3）解：∵∠CPD=30°，
∴PD=

3

DC=4

3

，
∴AP=10-4

3

，
∵△APE∽△DCP，
∴AP：DC=AE：PD，即（10-4

3

）：4=AE：4

3

，
∴AE=10

3

-12（cm）．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质：有两组角对应相等的两个三角形相似；相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．也考查了矩形的性质．