Question

已知△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°．
（1）如图1，当C、A、D在同一直线上时，连CE、BD，判断CE和BD位置关系，填空CE

 

BD．
（2）如图2，把△ADE绕点A旋转到如图所示的位置，试问（1）中的结论是否仍然成立，写出你的结论，并说明理由．
（3）如图3，在图1的基础上，将△ACE绕点A旋转一个角度到如图所示的△AC′E′的位置，连接BE′、DC′，过点A作AN⊥BE′于点N，反向延长AN交DC′于点M．求

DM

DC′

的值．

Answer 1

分析：（1）根据△ABC≌△ADE，∠BAC=∠DAE=90°，可得出∠C+∠D=90°，从而得出CE⊥BD；
（2）延长CE交BD于M，设AB与EM交于点F．由等量关系可知∠CAE=∠BAD，从而证明∠ACE=∠ABD．再根据三角形的内角和为180°，得出∠BMC=90°，得出结论仍然成立；
（3）过C′作C′G⊥AM于G，过D作DH⊥AM交延长线于点H．通过证明∴△ANE′≌△C′GA（AAS），得出AN=C′G；△BNA≌△AHD，得出AN=DH．则C′G=DH．再通过证明△C′GM≌△DHM，即可得出

DM

DC′

的值．

解答：解：（1）CE⊥BD．

（2）延长CE交BD于M，设AB与EM交于点F．
∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠CAE=∠BAD．
又∵△ABC≌△ADE，
∴AC=AE，AB=AD，
∴∠ACE=

180°-∠CAE

2

，∠ABD=

180°-∠BAD

2

，
∴∠ACE=∠ABD．
又∵∠AFC=∠BFM，∠AFC+∠ACE=90°，
∴∠ABD+∠BFM=90°，
∴∠BMC=90°，
∴CE⊥BD．

（3）过C′作C′G⊥AM于G，过D作DH⊥AM交延长线于点H．
∵∠E′NA=∠AGC′=90°，
∴∠NE′A+∠NAE′=90°，∠NAE′+∠C′AG=90°，
∴∠NE′A=∠C′AG，
∵AE′=AC′
∴△ANE′≌△C′GA（AAS），
∴AN=C′G．
同理可证△BNA≌△AHD，AN=DH．
∴C′G=DH．
在△C′GM与△DHM中，
∠C′GM=∠DHM=90°，∠C′MG=∠DMH，C′G=DH，
∴△C′GM≌△DHM，
∴C′M=DM，
∴

DM

DC′

=

1

2

．

点评：本题考查了三角形全等的判定及性质，由三角形内角和等于180°，得出其中两个角的和为90°来证明垂直，此证法是比较常用的证垂直的作法，学生应该掌握．