Question

如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．
（1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD；
（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据题意先求得AB=30cm，由纸带的宽为15cm，根据三角函数求得∠BAD=30°；
（2）由三棱柱的侧面展开图求出BC和MB的长，即是所需的矩形纸带的长度．
解答：解：（1）由图2的包贴方法知：
∵AB的长等于三棱柱的底边周长，
∴AB=30cm，
∵纸带的宽为15cm，
∴sin∠BAD=sin∠ABM===，
∴∠BAD=30°；

（2）在图3中将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得知如图甲的侧面展开图．

将图甲的△ABF向左平移30cm，△CDE向右平移30cm，拼成如图乙中的平行四边形AMCN，此平行四边形即为图2中的平行四边形ABCD．
由题意得：图2中的BC=图乙中的AM=2AE=2AB÷cos∠EAB=60÷cos30°=40（cm），
故所需的矩形纸带的长度为MB+BC=30×cos30°+40=55cm．
点评：本题是一道立体图形的侧面展开，结合三角函数进行计算是一道综合题，难度较大．