Question

AB是⊙O的直径，D是⊙O上一动点，延长AD到C使CD=AD，连接BC，BD．
（1）证明：当D点与A点不重合时，总有AB=BC；
（2）设⊙O的半径为2，AD=x，BD=y，用含x的式子表示y；
（3）BC与⊙O是否有可能相切？若不可能相切，则说明理由；若能相切，则指出x为何值时相切．

Answer 1

【答案】分析：（1）已知CD=AD，只要再证明BD⊥AC，就可以证明BD是AC的垂直平分线，则得到AB=BC．
（2）在Rt△ABD中，根据勾股定理，就得到关于AD，BD的关系式，就可以用含x的式子表示y．
（3）当BC与⊙O相切时，BC⊥AB，就可以求出AD的长．
解答：（1）证明：∵AB为⊙O直径，
∴BD⊥AC，（1分）
又∵DC=AD，
∴BD是AC的垂直平分线，
∴AB=BC；（3分）

（2）解：在Rt△ABD中，BD²=AB²-AD²，（5分）
∴y²=4²-x²，（6分）
∴；（7分）

（3）解：BC与⊙O有可能相切，（8分）
当BC与⊙O相切时，BC⊥AB，
∵AB=BC，
∴∠A=45°，（9分）
∴x=AB=2（10分）．
点评：本题考查了直径所对的圆周角是直角，并且考查了勾股定理，切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径．