Question

如图，已知正方形ABCD内接于半径为2的⊙O，将一个直角三角板EOF的直角顶点O与圆心O重合，将Rt∠EOF绕点O旋转，OE、OF分别与⊙O相交于点M、N，分别与正方形ABCD的边相交于点G、H．设OM、ON、弧MN及正方形ABCD的边围成的图形（图中阴影部分）的面积为S．
（1）当OE经过点A时（如图1），请计算阴影部分面积S，要求写出计算过程；
（2）当OE⊥AB时（如图2），点G为垂足，请计算阴影部分面积S，要求写出计算过程；
（3）当∠EOF旋转到任意位置时（如图3），则面积S是否会发生变化？（填“变”或“不变”，不要求说明理由）

Answer 1

考点：圆的综合题

专题：综合题

分析：（1）根据扇形的面积公式和S=S_扇形OMN-S_△OAB进行计算；
（2）先判断四边形OGBH为矩形，再根据在同圆或等圆中相等的弦所应的弦心距相等得OG=OH，则可判断四边形OGBH为正方形，所以OG=

2

2

OB=

2

，然后利用S=S_扇形OMN-S_{正方形OGBH}进行计算；
（3）作OP⊥AB于P，OQ⊥BC于Q，如图3，先根据等角的余角相等得到∠POG=∠HOQ，则可根据“AAS”判断△OPG≌△OQH，则S_{四边形OGBH}=S_{正方形OPBQ}，
然后利用（2）的结论易得S=π-2．

解答：解：（1）S=S_扇形OMN-S_△OAB
=

90•π•22

360

-

1

2

×2×2
=π-2；
（2）∵OE⊥AB，
∴四边形OGBH为矩形，
∴OH⊥BC，
∵AB=BC，
∴OG=OH，
∴四边形OGBH为正方形，
∴OG=

2

2

OB=

2

，
∴S=S_扇形OMN-S_{正方形OGBH}
=

90•π•22

360

-（

2

）²
=π-2；
（3）面积S不发生变化．理由如下：
作OP⊥AB于P，OQ⊥BC于Q，如图3，
由（2）可得四边形OPBQ为正方形，则OQ=OP，
∵∠FOE=90°，即∠HOQ+∠GOQ=90°，
∠POG+∠GOQ=90°，
∴∠POG=∠HOQ，
在△OPG和△OQH中

∠POG=∠QOH ∠OPG=∠OQH OP=OQ

，
∴△OPG≌△OQH，
∴S_{四边形OGBH}=S_{正方形OPBQ}，
∴S=S_扇形OMN-S_{四边形OGBH}
=S_扇形OMN-S_{正方形OGBH}
=π-2．

点评：本题考查了圆的综合题：熟练掌握垂径定理和弦、弧、圆心角的关系以及扇形的面积公式；会运用面积的和差计算不规则图形的面积．