Question

如图，动点A（a，b）在双曲线y=

6

x

（x＞0）图象上，以A为直角顶点作等腰Rt△ABC（点B在C的左侧，且均在x轴上）．
（1）请直接写出a•b的值；
（2）若B（-1，0），且a、b都为整数时，试求线段BC的长．
（3）直线AC与双曲线y=

6

x

（x＞0）图象上交于另一点E．问：在点A整个运动过程中，AC•EC的值是否会发生变化？若不会，请求出它的值；若会，请说明理由．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）把A（a，b）代入双曲线y=

6

x

（x＞0）即可求得；
（2）根据△ABC是等腰直角三角形，即可得到直线AB的解析式的一次项系数，然后利用待定系数法即可求得AB的解析式，解AB的解析式与反比例函数的解析式组成的方程组求得A的坐标，然后根据等腰直角三角形的性质求得BC的长；
（3）作EF⊥BC于点F．利用a、b表示出直线AC的解析式，然后利用一元二次方程的根与系数的关系即可求得E的坐标，利用a、b表示出AC和EC的长，从而求解．

解答：解：（1）把A（a，b）代入双曲线y=

6

x

（x＞0）得：ab=6；

（2）∵△ABC是等腰Rt△ABC，
∴∠ABC=45°，
设直线AB的解析式是y=x+b，把（-1，0）代入得：-1+b=0，
解得：b=1，
则AB的解析式是：y=x+1，
根据题意得：

y=x+1 y= 6 x

，
解得：

x=2 y=3

或

x=-3 y=-2

（舍去），
则A的坐标是：（2，3），
过A作AD⊥BC于点D．
则BD=3，
∴BC=2BD=6；

（3）作EF⊥BC于点F．
A的坐标是（a，b），则OD=a，DC=AD=b，
则C的坐标是（a+b，0），AC=

2

b，
设直线AC的解析式是y=-x+c，
则-a-b+c=0，
解得：c=a+b，
则直线AC的解析式是：y=-x+a+b，
令-x+a+b=

6

x

，
则x²-（a+b）x+6=0，
则方程的两根的和是a+b，而A的横坐标是a，则E的横坐标是b．
则FC=a+b-b=a，
则EC=

2

FC=

2

a，
∴AC•EC=

2

b•

2

a=2ab=2×6=12．

点评：本题考查了待定系数法求函数的解析式以及等腰直角三角形的性质，函数图象交点的求法，正确求得E的横坐标是关键．