Question

16．在平面直角坐标系内，双曲线：y=$\frac{k}{x}$（x＞0）分别与直线OA：y=x和直线AB：y=-x+10，交于C，D两点，并且OC=3BD．
（1）求出双曲线的解析式；
（2）连结CD，求四边形OCDB的面积．

Answer 1

分析 （1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，由直线y=x和y=-x+10可知∠AOB=∠ABO=45°，证明△CEO∽△DEB，从而可知$\frac{CE}{DF}$=$\frac{OC}{BD}$=3，然后设设D（10-m，m），其中m＞0，从而可知C的坐标为（3m，3m），利用C、D在反比例函数图象上列出方程即可求出m的值．
（2）求分别求出△OCE、△DFB△、梯形CDFE的面积即可求出答案．

解答 解：（1）过点A、C、D作x轴的垂线，垂足分别是M、E、F，
∴∠AMO=∠CEO=∠DFB=90°，
∵直线OA：y=x和直线AB：y=-x+10，
∴∠AOB=∠ABO=45°，
∴△CEO∽△DEB
∴$\frac{CE}{DF}$=$\frac{OC}{BD}$=3，
设D（10-m，m），其中m＞0，
∴C（3m，3m），
∵点C、D在双曲线上，
∴9m²=m（10-m），
解得：m=1或m=0（舍去）
∴C（3，3），
∴k=9，
∴双曲线y=$\frac{9}{x}$（x＞0）

（2）由（1）可知D（9，1），C（3，3），B（10，0），
∴OE=3，EF=6，DF=1，BF=1，
∴S_{四边形OCDB}=S_△OCE+S_梯形CDFE+S_△DFB
=$\frac{1}{2}$×3×3+$\frac{1}{2}$×（1+3）×6+$\frac{1}{2}$×1×1=17，
∴四边形OCDB的面积是17

点评 本题考查反比例函数的综合问题，解题的关键是证明△CEO∽△DEB，从而可知$\frac{CE}{DF}$=$\frac{OC}{BD}$=3，本题属于中等题型．