【题目】如图,在中,是高,是角平分线,,.
()求、和的度数.
()若图形发生了变化,已知的两个角度数改为:当,,则__________.
当,时,则__________.
当,时,则__________.
当,时,则__________.
()若和的度数改为用字母和来表示,你能找到与和之间的关系吗?请直接写出你发现的结论.
【答案】(1)30°,70°,20°;(2)15°,5°,0°,5°;(3)当时,;当时,.
【解析】
(1)先利用三角形内角和定理求出的度数,再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数,进而可求和的度数;
(2)先利用三角形内角和定理求出的度数,再根据角平分线和高的性质分别得出和的度数,则前三问利用即可得出答案,第4问利用即可得出答案;
(3)按照(2)的方法,将相应的数换成字母即可得出答案.
(1)∵,,
∴ .
∵平分,
∴.
∵是高,
,
,
,
.
(2)当,时,
∵,,
∴.
∵平分,
∴.
∵是高,
,
,
;
当,时,
∵,,
∴ .
∵平分,
∴.
∵是高,
,
,
;
当,时,
∵,,
∴.
∵平分,
∴.
∵是高,
,
,
;
当,时,
∵,,
∴.
∵平分,
∴.
∵是高,
,
,
.
(3)当 时,即时,
∵,,
∴ .
∵平分,
∴.
∵是高,
,
,
;
当 时,即时,
∵,,
∴ .
∵平分,
∴.
∵是高,
,
,
;
综上所述,当时,;当时,.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,顶点为(4,1)的抛物线交y轴于点A,交x轴于B,C两点(点B在点C的左侧),已知C点坐标为(6,0).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)连结AB,过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与抛物线的对称轴l相切,先补全图形,再判断直线BD与⊙C的位置关系并加以证明;
(3)已知点P是抛物线上的一个动点,且位于A,C两点之间.问:当点P运动到什么位置时,△PAC的面积最大?求出△PAC的最大面积.
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【题目】四边形ABCD中,∠A=140°,∠D=80°.
(1)如图1,若∠B=∠C,试求出∠C的度数;
(2)如图2,若∠ABC的角平分线BE交DC于点E,且BE∥AD,试求出∠C的度数.
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【题目】已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 A(3,3).
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式;
(2)把直线 OA 向下平移后得到直线 l,与反比例函数的图象交于点 B(6,m),求 m 的值和直线 l 的解 析式;
(3)在(2)中的直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于 C、D,求四边形 OABC 的面积.
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【题目】我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”.如图,直线l:y=kx+4与x轴、y轴分别交于A、B,∠OAB=30°,点P在x轴上,⊙P与l相切,当P在线段OA上运动时,使得⊙P成为整圆的点P个数是( )
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
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【题目】如图,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,∠AEF=90°,且EF交正方形外角平分线CF于点F.请你认真阅读下面关于这个图的探究片段,完成所提出的问题.
(1)探究1:小强看到图(*)后,很快发现AE=EF,这需要证明AE和EF所在的两个三角形全等,但△ABE和△ECF显然不全等(一个是直角三角形,一个是钝角三角形),考虑到点E是边BC的中点,因此可以选取AB的中点M,连接EM后尝试着去证△AEM≌EFC就行了,随即小强写出了如下的证明过程:
证明:如图1,取AB的中点M,连接EM.
∵∠AEF=90°
∴∠FEC+∠AEB=90°
又∵∠EAM+∠AEB=90°
∴∠EAM=∠FEC
∵点E,M分别为正方形的边BC和AB的中点
∴AM=EC
又可知△BME是等腰直角三角形
∴∠AME=135°
又∵CF是正方形外角的平分线
∴∠ECF=135°
∴△AEM≌△EFC(ASA)
∴AE=EF
(2)探究2:小强继续探索,如图2,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上的任意一点”,其余条件不变,发现AE=EF仍然成立,请你证明这一结论.
(3)探究3:小强进一步还想试试,如图3,若把条件“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC延长线上的一点”,其余条件仍不变,那么结论AE=EF是否成立呢?若成立请你完成证明过程给小强看,若不成立请你说明理由.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,点E在⊙O上,C为的中点,过点C作直线CD⊥AE于D,连接AC,BC.
(1)试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若AD=2,AC=,求AB的长.
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【题目】已知抛物线y= ax2+bx+c开口向下,并且经过A(0,1)和M(2,-3)两点。
(1)若抛物线的对称轴为直线x= -1,求此抛物线的解析式;
(2)如果抛物线的对称轴在y轴的左侧,试求a的取值范围;
(3)如果抛物线与x轴交于B、C两点,且∠BAC=90,求此时a的值。
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