Question

如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8．点P从点A开始沿边AB向点B以1cm/s的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边BC向点C以2cm/s的速度移动．设P、Q分别从A、B同时出发，运动时间为t，当其中一点先到达终点时，另一点也停止运动．解答下列问题：
（1）经过几秒，△PBQ的面积等于8cm²？
（2）是否存在这样的时刻t，使线段PQ恰好平分△ABC的面积？若存在，求出运动时间t；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设出运动所求的时间，可将BP和BQ的长表示出来，代入三角形面积公式，列出等式，可将时间求出；
（2）将△PBQ的面积表示出来，根据△=b²-4ac来判断．

解答：解：（1）设经过x秒，△PBQ的面积等于8cm²则：
BP=6-x，BQ=2x，
所以S_△PBQ=

1

2

×（6-x）×2x=8，即x²-6x+8=0，
可得：x=2或4（舍去），
即经过2秒，△PBQ的面积等于8cm²．

（2）设经过y秒，线段PQ恰好平分△ABC的面积，△PBQ的面积等于12cm²，S_△PBQ=

1

2

×（6-y）×2y=12，
即y²-6y+12=0，
因为△=b²-4ac=36-4×12=-12＜0，所以△PBQ的面积不会等于12cm²，则线段PQ不能平分△ABC的面积．

点评：本题考查了一元二次方程的应用．关键是用含时间的代数式准确表示BP和BQ的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解．