Question

如图，△ABC中，D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，AD、BE、CF相交于点O，DE=3，BC=10，DF=4．
（1）试求出线段OA的长度．
（2）试判断四边形AEDF是何种特殊四边形，并加以说明．

Answer 1

解：∵D、E、F分别为BC、AC、AB的中点，
∴DE，DF，是△ABC的中位线，
∴DE=AB，DF=AC，
∵DE=3，DF=4，
∴AB=6，AC=8，
∴BC=10，
∴△ABC是直角三角形，
∴AD=BC=5，
∴OA=AD=，

（2）矩形，
理由如下：
有（1）知：△ABC是直角三角形，
∴∠BAC=90°，
∵DE∥AB，DF∥AC，
∴∠AED=90°，∠AFD=90°，
∴四边形AEDF是矩形．
分析：（1）易得DE是△ABC的中位线，那么DE等于AB的一半；可证得△ABC是直角三角形，那么AD等于BC的一半；AO等于AD的三分之二；
（2）根据有三个直角的四边形为矩形，进行判定即可．
点评：本题考查的知识点为：三角形的中位线等于第三边的一半；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形的重心把三角形的中线分为1：2两部分．