Question

如图，矩形ABCD的边AB=4，AD=10．点P是BC边上的一个点，如果△ABP与△CDP相似，那么符合条件的点P有

 

个．

Answer 1

分析：由四边形ABCD是矩形，即可得∠B=∠C=90°，AB=CD=4，AD=BC=10，然后分别从当

AB

CD

=

BP

CP

时，△ABP∽△CDP；当

AB

CP

=

BP

CD

时，△ABP∽△PCD，借助于方程求解即可求得答案．

解答：解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=∠C=90°，AB=CD=4，AD=BC=10，
当BC=5时，

AB

CD

=

BP

CP

，即BP=CP=

1

2

BC=5时，△ABP∽△CDP；
当

AB

CP

=

BP

CD

时，△ABP∽△PCD，
设BP=x，则CP=BC-BP=10-x，
∴

4

10-x

=

x

4

，
解得：x=2或x=8，
即BP=2或BP=8时，△ABP∽△PCD．
∴当BP=5或2或8时，△ABP与△CDP相似．
∴符合条件的点P有3个．

点评：此题考查了相似三角形的性质与矩形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合、方程思想与分类讨论思想的应用．