Question

已知抛物线与x轴交于不同的两点和，与y轴交于点C，且是方程的两个根（）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AD∥CB交抛物线于点D，求四边形ACBD的面积；
（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与点A、C重合），过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）解方程，得．………………1分
∴点，点．
∴
解，得
∴抛物线的解析式为．·············· 2分
（2）∵抛物线与y轴交于点C．
∴点C的坐标为（0，2）．
又点，可求直线BC的解析式为．
∵AD∥CB，∴设直线AD的解析式为．
又点，∴，直线AD的解析式为．
解，得，
∴点D的坐标为（4，）．····················· 4分
过点D作DD’轴于D’， DD’＝，则又AB＝4．
∴四边形ACBD的面积＝AB•OC+AB•DD’＝·········· 5分
（3）假设存在满足条件的点R，设直线l交y轴于点E（0，m），
∵点P不与点A、C重合，∴0< m <2，∵点，点，
∴可求直线AC的解析式为，∴点．
∵直线BC的解析式为，∴点．
∴．在△PQR中，
①当RQ为底时，过点P作PR₁⊥x轴于点R₁，则∠R₁PQ＝90°，PQ＝PR₁＝m．
∴，解得，∴点，
∴点R₁坐标为（，0）．····················· 6分
②当RP为底时，过点Q作Q R₂⊥x轴于点R₂，
同理可求，点R₂坐标为（1，0）．······················· 7分
③当PQ为底时，取PQ中点S，过S作SR₃⊥PQ交x轴于点R₃，则PR₃＝QR₃，∠PR₃Q＝90°．∴PQ＝2R₃S＝2m．∴，解，得，
∴点，点，可求点R₃坐标为（，0）． …………………8分
经检验，点R₁，点R₂，点R₃都满足条件．
综上所述，存在满足条件的点R，它们分别是R₁（，0），R₂（1，0）和点R₃（，0）．

解析