Question

10．已知：如图，在?ABCD中，∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F．证明：四边形AECF是平行四边形．

Answer 1

分析 由在?ABCD中，可证得AB=CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，又由∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F，可证得∠BAE=∠DCF，继而可证得△ABE≌△CDF（ASA），则可证得AE=CF，AE∥CF，判定四边形AECF是平行四边形．

解答 证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD∥BC，∠BAD=∠BCD，
∴∠ABE=∠CDF，
∵∠BAD和∠BCD的平分线AE、CF分别与对角线BD相交于点E，F，
∴∠BAE=$\frac{1}{2}$∠BAD，∠DCF=$\frac{1}{2}$∠BCD，
∴∠BAE=∠DCF，
在△ABE和△CDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BAE=∠DCF}\\{AB=CD}\\{∠ABE=∠CDF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△CDF（ASA），
∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形．

点评 此题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．注意证得△ABE≌△CDF是解此题的关键．