分析 (1)设当ts时PQ∥AC,再用t表示出BP与BQ的长,根据相似三角形的性质即可得出结论;
(2)分别过点A、P作AN⊥BC,PN⊥BC于点N、M,根据勾股定理求出AN的长,再由相似三角形的性质求出PM的长,根据三角形的面积公式即可得出结论;
(3)分别用t表示出四边形APQD与三角形ABC的面积,进而可得出结论.
解答 解:(1)当ts时PQ∥AC,
∵点P从点B出发,沿BA方向匀速运动,速度为1cm/s;同时,直线QD从点C出发,沿CB方向匀速运动,速度为1cm/s,
∴BP=t,BQ=6-t.
∵PQ∥AC,
∴△BPQ∽△BAC,
∴$\frac{BP}{AC}$=$\frac{BC}{BQ}$,即$\frac{t}{5}$=$\frac{6-t}{6}$,解得t=$\frac{30}{11}$(s).
答:当t为$\frac{30}{11}$s时,PQ∥AC;
(2)过点A、P作AN⊥BC,PN⊥BC于点N、M,
∵AB=AC=5cm,BC=6cm,
∴BN=CN=3cm,
∴AN=$\sqrt{{AB}^{2}-{BN}^{2}}$=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4cm.
∵AN⊥BC,PN⊥BC,
∴△BPM∽△BAN,
∴$\frac{BP}{AB}$=$\frac{PM}{AN}$,即$\frac{t}{5}$=$\frac{PM}{4}$,解得PM=$\frac{4t}{5}$,
∴S△BPQ=$\frac{1}{2}$BQ•PM=$\frac{1}{2}$(6-t)•$\frac{4t}{5}$=-$\frac{2{t}^{2}}{5}$+$\frac{12}{5}$t.
∵AB=AC=5cm,
∴∠C=45°,
∴QC=DQ,
∴S△CDQ=$\frac{1}{2}$CQ•DQ=$\frac{1}{2}$t2.
∵S△ABC=$\frac{1}{2}$BC•AN=$\frac{1}{2}$×6×4=12,
∴y=S四边形APQD=S△ABC-S△CDQ-S△BPQ=12-$\frac{1}{2}$t2-(-$\frac{{2t}^{2}}{5}$+$\frac{12}{5}$t)=12-$\frac{1}{10}$t2-$\frac{12}{5}$t(0<t<3);
(3)存在.
∵由(2)知,S四边形APQD=S△ABC-S△CDQ-S△BPQ=12-$\frac{1}{2}$t2-(-$\frac{{2t}^{2}}{5}$+$\frac{12}{5}$t)=12-$\frac{1}{10}$t2-$\frac{12}{5}$t,S△ABC=12,
∴$\frac{12-\frac{1}{10}{t}^{2}-\frac{12}{5}t}{12}$=$\frac{23}{45}$,解得t1=-12+$\frac{4\sqrt{114}}{3}$,t2=-12-$\frac{4\sqrt{114}}{3}$(舍去).
答:当t=(-12+$\frac{4\sqrt{114}}{3}$)s时,S四边形APQD:S△ABC=23:45.
点评 本题考查的是相似形综合题,涉及到相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形等知识,根据题意作出辅助线,构造出直角三角形是解答此题的关键.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:填空题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com