Question

18．在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交边BC、AC于点D、点E，且AE=BE．
（1）如图①，求∠EBC的度数；
（2）如图②，过点D作⊙O的切线交AB的延长线于点G，交AC于点F，若⊙O的直径为10，求BG的长．

Answer 1

分析 （1）由AB为⊙O的直径，得到∠AEB=90°，根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；
（2）连接OD，AD，由FG是⊙O的切线，得到∠ODG=90°，根据三角形的中位线的性质得到OD∥AC，于是得到∠GOD=∠BAC=45°，于是得到结论．

解答 解：（1）∵AB为⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∵AE=BE，
∴∠A=∠ABE=$\frac{180°-90°}{2}$=45°，
∵AB=AC，
∴$∠ABC=∠ACB=\frac{180°-45°}{2}$=67.5°，
∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=22.5°；

（2）连接OD，AD，∵FG是⊙O的切线，
∴GF⊥OD，
∴∠ODG=90°，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=DC，
∵OA=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∴∠GOD=∠BAC=45°，
∵cos∠GOD=$\frac{OD}{OG}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵⊙O的直径为10，
∴OB=OD=5，
∴OG=5$\sqrt{2}$，
∴BG=5$\sqrt{2}$-5．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，勾股定理，三角函数的定义，三角形的中位线的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．