Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论：
（1）4a+2b+c＞0
（2）方程ax²+bx+c=0两根之和小于零
（3）y随x的增大而增大
（4）4a-2b+c＜0
（5）b²-4ac＜0
（6）一次函数y=x+bc的图象一定不过第二象限．其中正确的个数是（　　）

• A、4个
• B、3个
• C、2个
• D、1个

Answer 1

分析：（1）由函数图象可知x=2对应的抛物线图象上的点在x轴上方，故把x=2代入抛物线解析式得到的函数值大于0，本选项正确；
（2）由根与系数的关系表示出两根之和-

b

a

，根据抛物线的对称轴在y轴右边，可得-

b

2a

＞0，从而得到两根之和也大于0，本选项错误；
（3）根据开口方向，分对称轴在y轴的左侧和右侧两种情况考虑二次函数的增减性，故本选项错误；
（4）根据二次函数的对称性可知抛物线与x轴的左交点到对称轴的距离小于2，可知x=-2时对应的抛物线上的点在x轴上方，故把x=-2代入抛物线解析式表示出函数值大于0，本选项错误；
（5）根据抛物线与x轴有两个交点，可知y=0时对应的方程有两个不相等的实数根，即根的判别式大于0，本选项错误；
（6）由a的符号及对称轴在y轴的右侧判断出b的符号，再由抛物线与y轴的交点在y轴负半轴判断出c的符号，进而得出bc的符号，根据一次函数的图象与性质可得出y=x+bc不经过第四象限，本选项错误．

解答：解：（1）由函数图象可知x=2时，y＞0，
即4a+2b+c＞0，本选项正确；
（2）设方程ax²+bx+c=0的两根分别为x₁，x₂，
根据图象b²-4ac＞0，则有x₁+x₂=-

b

a

，
又对称轴在y轴右侧可得-

b

2a

＞0，则-

b

a

＞0，
本选项错误；
（3）因为抛物线开口向上，在对称轴左侧，y随x的增大而减小；在对称轴右侧，y随x的增大而增大，
本选项错误；
（4）根据抛物线关于对称轴对称，可得x=-2对应的函数值y＞0，
则4a-2b+c＞0，本选项错误；
（5）由抛物线与x轴有两个交点，可得方程ax²+bx+c=0有两个不相等的实数根，
则有b²-4ac＞0，本选项错误；
（6）由y=x+bc中，k=1，bc为常数项，
又a＞0，-

b

2a

＞0，∴b＜0，又c＜0，
∴bc＞0，
则一次函数y=x+bc经过第一、二、三象限，不经过第四象限，本选项错误．
综上，正确的个数有1个．
故选D

点评：此题考查了二次函数的图象与系数的关系，图象的增减性以及二次函数与方程之间的关系，利用了数形结合的思想，此类题涉及的知识面比较广，能正确观察图象是解本题的关键．