Question

8．如图1，将两个等腰直角三角形纸片ABC和DEC的顶点C重合放置，点D和E分别在边AC和BC上，其中∠C=90°，AC=BC，DC=EC．
操作发现：如图2，固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转45°，点D恰好落在AB边上，填空：
①线段DE与AC的位置关系是平行；
②设△BDC的面积为S₁，△AEC的面积为S₂，则S₁与S₂的数量关系是相等．

Answer 1

分析 ①根据等腰直角三角形的性质得∠EDC=45°，再根据旋转的性质得∠ACD=45°，于是可根据平行线的判定定理得到DE∥AC；
②DE交BC于F，如图2，设AC=BC=a，DC=EC=b，由DE∥AC得到∠DFC=∠ACB=90°，则可判断△DFC为等腰直角三角形，所以DF=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，然后根据三角形面积公式计算出S₁=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ab，S₂=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ab，从而得到
S₁=S₂．

解答 解：①∵△DEC为等腰直角三角形，
∴∠EDC=45°，
∵固定△ABC，使△DEC绕点C顺时针旋转45°，点D恰好落在AB边上，如图2，
∴∠ACD=45°，
∴∠ACD=∠EDC，
∴DE∥AC；
②DE交BC于F，如图2，
设AC=BC=a，DC=EC=b，
∵DE∥AC，
∴∠DFC=∠ACB=90°，
∵∠FDC=45°，
∴△DFC为等腰直角三角形，
∴DF=CF=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$b，
∴S₁=$\frac{1}{2}$BC•DF=$\frac{1}{2}$•a•$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ab，S₂=$\frac{1}{2}$AC•CF=$\frac{1}{2}$•a•$\frac{\sqrt{2}}{2}$b=$\frac{\sqrt{2}}{4}$ab，
∴S₁=S₂．
故答案为平行，相等．

点评 本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰直角三角形．