Question

如图，已知AB是⊙O的直径，⊙O的切线PA与弦BC的延长线相交于点P，∠PBA的平分线交PA于点D，∠ABC=30°．
（1）求∠ADB的度数；
（2）若PA=2cm，求BC的长．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据切线的性质知：∠PAB=90°，再根据∠PBA的平分线交PA于点D，∠ABC的度数，可得：∠ABD的度数，从而可将∠ADB的度数求出；
（2）在Rt△APC中，根据PA的长和∠PAC的度数，可将PA的长求出，在Rt△ABP中，根据三角函数可将PB的长求出，从而可将BC的长求出．
解答：解：（1）∵PA是⊙O的切线，AB是⊙O的直径，
∴∠PAB=90°，
∵BD平分∠PBA，
∴∠ABD=∠PBA=×30°=15°，
∴∠ADB=90°-∠ABD=75°；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠PCA=∠ACB=90°；
在Rt△ABC中，∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°，
∴∠PAC=∠PAB-∠BAC=30°；
在Rt△PAC中，
∵PA=2，∠PCA=90°，
∴PC=PA=1；
在Rt△ABP中，
∵∠ABP=30°，∠PAB=90°，
∴PB=2AP=2×2=4，
∴BC=PB-PC=3（cm）．
点评：本题考查了圆的切线性质，及解直角三角形的知识．运用切线的性质来进行计算或论证，常通作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．