Question

定义{a，b，c}为函数y=ax²+bx+c的“特征数”．如：函数y=x²-2x+3的“特征数”是{1，-2，3}，函数y=2x+3的“特征数”是{0，2，3}，函数y=-x的“特征数”是{0，-1，0}
（1）将“特征数”是{1，-4，1}的函数的图象向下平移2个单位，得到一个新函数图象，求这个新函数图象的解析式；
（2）“特征数”是的函数图象与x、y轴分别交点C、D，“特征数”是的函数图象与x轴交于点E，点O是原点，判断△ODC与△OED是否相似，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵函数y=x²-2x+3的“特征数”是{1，-2，3}，函数y=2x+3的“特征数”是{0，2，3}，函数y=-x的“特征数”是{0，-1，0}，
∴“特征数”是{1，-4，1}的函数解析式是：y=x²-4x+1=（x-2）²-3，
∵函数的图象向下平移2个单位，
∴y=（x-2）²-5=x²-4x-1，

（2）∵“特征数”是的函数图象与x、y轴分别交点C、D，
∴函数解析式为：y=，
∴图象与x、y轴分别点C（3，0）、D（0，），
∵“特征数”是的函数图象与x轴交于点E，
∴函数解析式为：y=
∴图象与x、y轴分别点E（1，0）、D（0，），
∴OD=，OC=3，OD=1．
∴OD²=OC×OE，
∴△ODC∽△OED．
分析：（1）根据函数“特征数”写出函数的解析式，再根据平移后二次函数的变化情况写出函数图象向下平移2个单位的新函数的解析式．
（2）根据已知得出一次函数解析式，进而求出图象与坐标轴交点，再利用相似三角形的判定得出即可．
点评：此题主要考查了二次函数的综合应用，结合“特征数”的定义考查一次函数，二次函数的综合应用，综合性强，能力要求高．