Question

12．在平面直角坐标系中，抛物线y=x²+5x+4的顶点为M，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求抛物线y=x²+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′，B′两点，与y轴交于C′点，在以A，B，C，M，A′，B′，C′，M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积．

Answer 1

分析 （1）令y=0，求出x的值；令x=0，求出y，即可解答；
（2）先求出A，B，C关于坐标原点O对称后的点为（4，0），（1，0），（0，-4），再代入解析式，即可解答；
（3）取四点A，M，A′，M′，连接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′，由中心对称性可知，MM′过点O，OA=OA′，OM=OM′，由此判定四边形AMA′M′为平行四边形，又知AA′与MM′不垂直，从而平行四边形AMA′M′不是菱形，过点M作MD⊥x轴于点D，求出抛物线的顶点坐标M，根据${S}_{平行四边形AM{A}^{′}{M}^{′}}=2{S}_{△AM{A}^{′}}$，即可解答．

解答 解：（1）令y=0，得x²+5x+4=0，
∴x₁=-4，x₂=-1，
令x=0，得y=4，
∴A（-4，0），B（-1，0），C（0，4）．
（2）∵A，B，C关于坐标原点O对称后的点为（4，0），（1，0），（0，-4），
∴所求抛物线的函数表达式为y=ax²+bx-4，
将（4，0），（1，0）代入上式，得$\left\{\begin{array}{l}{16a+4b-4=0}\\{a+b-4=0}\end{array}\right.$
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=5}\end{array}\right.$，
∴y=-x²+5x-4．
（3）如图，取四点A，M，A′，M′，连接AM，MA′，A′M′，M′A，MM′，
由中心对称性可知，MM′过点O，OA=OA′，OM=OM′，
∴四边形AMA′M′为平行四边形，
又知AA′与MM′不垂直，
∴平行四边形AMA′M′不是菱形，
过点M作MD⊥x轴于点D，

∵y=${x}^{2}+5x+4=（x+\frac{5}{2}）^{2}-\frac{9}{4}$，
∴M（$-\frac{5}{2}，-\frac{9}{4}$），
又∵A（-4，0），A′（4，0）
∴AA′=8，MD=$\frac{9}{4}$，
∴${S}_{平行四边形AM{A}^{′}{M}^{′}}=2{S}_{△AM{A}^{′}}$=$2×\frac{1}{2}×8×\frac{9}{4}=18$

点评 本题考查了二次函数的性质与图象、中心对称、平行四边形的判定、菱形的判定，综合性较强，解决本题的关键是根据中心对称，求出抛物线的解析式，在（3）中注意菱形的判定与数形结合思想的应用．