Question

如图，已知AC、AB、BC是⊙O的弦，CE是⊙O的直径，CD⊥AB于点D．
（1）求证：∠ACD=∠BCE；
（2）延长CD交⊙O于点F，连接AE、BF，AC=12、CE=13，求BF长．

Answer 1

分析：（1）由CE是⊙O的直径，可得∠CAE=90°，又由CD⊥AB，根据同角的余角相等，可得∠BAE=∠ACD，然后由圆周角定理，可得∠BAE=∠BCE，继而证得：∠ACD=∠BCE；
（2）首先证得△ACE∽△DCB，即可得CD：BD=12：5，然后由△ACD∽△FBD，即可求得BF长．

解答：（1）证明：∵CE是⊙O的直径，
∴∠CAE=90°，
∴∠BAC+∠BAE=90°，
∵CD⊥AB，
∴∠BAC+∠ACD=90°，
∴∠BAE=∠ACD，
∵∠BAE=∠BCE，
∴∠ACD=∠BCE；

（2）解：∵∠ACD=∠BCE，
即∠ACE+∠ECD=∠ECD+∠BCD，
∴∠ACE=∠BCD，
∵∠CAE=∠CDB=90°，
∴△ACE∽△DCB，
∴AC：DC=AE：DB，
∵在Rt△ACE中，AC=12，CE=13，
∴AE=

CE2-AC2

=5，
∴CD：BD=AC：AE=12：5，
∵∠CAB=∠F，∠ACD=∠ABF，
∴△ACD∽△FBD，
∴AC：BF=CD：BD=12：5，
∴BF=

5

12

×12=5．

点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．