Question

12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=$\frac{1}{5}$x²+bx+c经过点A（-5，2）、B（5，12）．
（1）求抛物线的函数关系式．
（2）连结OB，点C为线段OB上一点，过点C作MN∥x轴，分别交y轴和抛物线于点M、N（N点在对称轴右侧），若MC=MN，求点C的横坐标．
（3）点E是OB的中点，作BD∥x轴．
①设BD与抛物线的对称轴交于点P，求∠BPE的正切值．
②点F是直线BD上的一个动点，且点F与点B不重合，当∠BFE=$\frac{1}{3}$∠FEO时，请直接写出线段BF的长．
[参考公式：抛物线y═ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（-$\frac{b}{2a}$，$\frac{4ac-{b}^{2}}{4a}$）]．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求出抛物线的函数表达式；
（2）如图1中，设线段BO与抛物线交于点F，当点C与点F重合时，CM=MN，列方程组即可解决问题．
（3）①如图2中，作EN⊥x轴于N，NE的延长线交BD于M，求出PM、ME即可解决问题．
②点F在点B的左右两侧均有可能，需要分类讨论．综合利用相似三角形的性质、等腰三角形的性质和勾股定理，求出线段BM的长度．

解答 解：（1）∵抛物线y=$\frac{1}{5}$x²+bx+c经过点A（-5，2）、B（5，12），
∴$\left\{\begin{array}{l}{5-5b+c=2}\\{5+5b+c=12}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=1}\\{c=2}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{5}$x²+x+2．

（2）如图1中，设线段BO与抛物线交于点F，

①当点C与点F或B重合时，CM=MN，
∵直线OB解析式为y=$\frac{12}{5}$x，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{12}{5}x}\\{y=\frac{1}{5}{x}^{2}+x+2}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5}\\{y=12}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=\frac{24}{5}}\end{array}\right.$，
∴点C坐标（2，$\frac{24}{5}$）或（5，12），
∴点C横坐标为2或5．
②当点N在y轴左侧时，设C（m，$\frac{12}{5}m$），
∵MN=CM，
∴$\frac{1}{5}$m²-m+2=$\frac{12}{5}$m，
∴m=$\frac{17-\sqrt{149}}{2}$或$\frac{17+\sqrt{149}}{2}$（不合题意舍弃），
综上所述，点C的横坐标为2或5或$\frac{17-\sqrt{149}}{2}$．

（3）①如图2中，作EN⊥x轴于N，NE的延长线交BD于M．

∵点E坐标（$\frac{5}{2}$，6），
∴BM=$\frac{5}{2}$，EN=6，EM=6，
∵抛物线对称轴x=-$\frac{5}{2}$，
∴PB=$\frac{15}{2}$，PM=PB-BM=5，
在Rt△PME中，tan∠BPE=$\frac{EM}{PM}$=$\frac{6}{5}$．
②如图3中，当点F在点B左侧时，BD与y轴交于点K，连接KE．
∵OE=EB，
∴KE=EO=EB，
∵∠FEO=3∠BFE，∠FEO=∠BFE+∠FBE，
∴∠FBE=2∠BFE=∠BEE，
∵∠BKE=∠BFE+∠KEF，
∴∠KFE=∠KEF，
∴FK=KE=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{13}{2}$，

∴BF=KF+BK=$\frac{13}{2}$+5=$\frac{23}{2}$，
当点F′在点B右侧时，在BD上截取BG=BE，作EN⊥BD于N．
∵∠F′EO=3∠EF′B，∠F′EO=∠EF′B+∠EBF′，
∴∠EBF′=2∠EF′B，
∵∠BGE=∠BEG，
∴∠BEG=∠EF′B，∵∠EGB=∠EGF′，
∴△BGE∽△EGF′，
∴$\frac{GF′}{GE}$=$\frac{GE}{GB}$，
在Rt△ENG中，∵NE=6，GN=4，
∴GE=$\sqrt{G{N}^{2}+N{E}^{2}}$=2$\sqrt{13}$，设BF′=x，
∴$\frac{\frac{13}{2}+x}{2\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{\frac{13}{2}}$，
∴x=$\frac{3}{2}$，
综上所述当∠BFE=$\frac{1}{3}$∠FEO时，请直接写出线段BF的长为$\frac{23}{2}$或$\frac{3}{2}$．

点评 本题是中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解方程、相似三角形、等腰三角形、平行四边形、勾股定理等知识点．难点在于第（3）②问，满足条件的点F可能有两种情形，需要分类讨论，分别计算，避免漏解．