Question

已知a、b、c是△ABC的三条边长，若x=-1为关于x的一元二次方程（c-b）x²-2（b-a）x+（a-b）=0的根．
（1）△ABC是等腰三角形吗？△ABC是等边三角形吗？请写出你的结论并证明；
（2）若代数式子有意义，且b为方程y²-8y+15=0的根，求△ABC的周长．

Answer 1

解：
（1）△ABC是等腰三角形，△ABC不是等边三角形；
理由如下：
∵x=-1为方程（c-b）x²-2（b-a）x+（a-b）=0的根，
∴（c-b）+2（b-a）+（a-b）=0，
∴c=a，
∵a、b、c是△ABC的三条边长
∴△ABC为等腰三角形，
∵c-b≠0，
∴c≠b，
∴△ABC不是等边三角形；

（2）依题意，得，
∴a=2，
∴c=a=2，
解方程y²-8y+15=0得y₁=3，y₂=5；
∵b为方程y²-8y+15=0的根，且b＜a+c，
∴b的值为3，
∴△ABC的周长为7．
分析：（1）根据方程的解的定义把x=-1代入方程（c-b）x²-2（b-a）x+（a-b）=0，可得c=a，根据一元二次方程的定义可知c≠b，所以△ABC不是等边三角形是等腰三角形；
（2）根据二次根式的意义可知，，所以a=2，所以c=a=2，解方程y²-8y+15=0，结合b＜a+c可求得b=3，所以△ABC的周长为7．
点评：主要考查了一元二次方程解的定义，等腰三角形的判定和二次根式的意义；要会利用方程的解和几何图形结合起来，利用数形结合的思想进行解题．