Question

如图，已知抛物线C：y=x²-2x+4和直线l：y=-2x+8．直线y=kx（k＞0）与抛物线C交于两个不同的点A、B，与直线l交于点P，
分别过A、B、P作x轴的垂线，设垂足分别为A₁，B₁，P₁．
（1）证明：

1

OA1

+

1

OB1

=

2

OP1

；
（2）是否存在实数k，使A₁A+B₁B=8？如果存在，求出此时k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线y=kx（k＞0）与抛物线C交于两个不同的点A、B，将两函数组成方程组得出k的取值范围，再将两直线组成方程组得出求出x的值，即可证明结论的正确性；
（2）由AA₁=kx₁，BB₁=kx₂，得出AA₁+BB₁=k（x₁+x₂）=k（2+k）=8再结合k的取值范围得出答案．

解答：解：（1）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）则
由

y=kx y=x2-2x+4

，
得x²-（2+k）x+4=0，
又由△=（2+k）²-16＞0，
∴k＞2或k＜-6，
x₁+x₂=2+k，x₁x₂=4，
OA₁=x₁，OB₁=x₂，
∴

1

OA1

+

1

OB1

=

1

x1

+ 

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

2+k

4

，
由

y=kx y=-2x+8

，得：
（k+2）x=8，
∴x=

8

k+2

，
∴OP1=

8

k+2

，

2

OP1

=

k+2

4

，结论成立；

（2）由AA₁=kx₁，BB₁=kx₂
∴AA₁+BB₁=k（x₁+x₂）=k（2+k）=8，
即k²+2k-8=0，
∴k₁=2，k₂=-4，
由△＞0有k＞2或k＜-6，
故不存在实数k满足条件．

点评：此题主要考查了二次函数的综合性题目以及函数图象交点的求法等知识点，主要考查学生数形结合的数学思想方法．