Question

7．如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=8，若以点D为圆心，DA长为半径画弧与以点B为圆心，BD长为半径画弧的交点为P，则点P到AD的距离为8或$\frac{24}{5}$．

Answer 1

分析 画出图形，注意两圆连心线垂直平分公共弦，进而可利用勾股定理算出DF、P₁F，从而得出∠FP₁D=∠BDA，由于∠DP₁P₂=∠DP₂P₁，可推导出P₂D⊥AD，则P₂D=AD直接求出，△DP₁P₂面积可求，并且被GD分成两部分，其中一部分也可求，而要求的P₁到AD的距离就是GD边上的高，由此作P₁E⊥AD于E，利用等面积法求出P₁E．

解答 解：由题意画出相应的圆，如图所示，

设⊙B与⊙D交于P₁、P₂两点，连接P₁P₂交BD于点F，交AD于点G，则BD垂直平分P₁P₂，
连接P₁D，P₂D，过P1作P₁E⊥AD于点E，
∵AB=4，AD=8，∠BAD=90°，
∴BD=4$\sqrt{5}$，
设DF=x，则BF=4$\sqrt{5}$-x，
∵P₁P₂⊥BD，
∴P₁B²-BF²=P₁D²-DF²，
即：（4$\sqrt{5}$）²-（4$\sqrt{5}$-x）²=8²-x²，
解得：x=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，P₁F=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，
∴sin∠FP₁D=$\frac{DF}{D{P}_{1}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$=$\frac{AB}{BD}$=sin∠BDA，
即∠FP₁D=∠BDA，
∵∠BDP₁=∠BDP₂，∠DP₁P₂=∠DP₂P₁，∠BDP₁+∠DP₁P₂=90°，
∴∠BDP₂，+∠BDA=90°，
∴P₂D⊥AD，
∵P₂D=AD，AD=8，
∴P₂D=8，
∵∠GP₂D=∠BDA，
∴$\frac{GD}{D{P}_{2}}$=$\frac{1}{2}$，
∴GD=4，
S_△DP1P2=$\frac{1}{2}$P₁P₂×DF=$\frac{16}{5}\sqrt{5}$×$\frac{8}{5}\sqrt{5}$=$\frac{128}{5}$=S_△DP2G+S_△P1DG=$\frac{1}{2}$×4×P₁E+$\frac{1}{2}$×4×8，
∴P₁E=$\frac{24}{5}$．
综上所述，点P到AD的距离为8或$\frac{24}{5}$．

点评 本题考查了矩形的基本性质、两圆相交的性质、勾股定理、三角函数的应用、等积变换法求线段长度等多个知识点和技巧，综合性较强，难度中等．通过角度代换判定P₂D垂直AD及等面积法求P₁E是关键所在．