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    （2012•辽阳）已知：在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B、C重合）．以AD为边作正方形ADEF，连接CF．

    （1）如图1，当点D在线段BC上时，求证：①BD⊥CF．②CF=BC-CD．
    （2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其它条件不变，请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系；
    （3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A、F分别在直线BC的两侧，其它条件不变：①请直接写出CF、BC、CD三条线段之间的关系．②若连接正方形对角线AE、DF，交点为O，连接OC，探究△AOC的形状，并说明理由．
    分析：（1）①根据等腰直角三角形的性质可得∠ABC=∠ACB=45°，再根据正方形的性质可得AD=AF，∠DAF=90°，然后利用同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠ACF+∠ACB=90°，从而得证；②根据全等三角形对应边相等可得BD=CF，从而求出CF=BC-CD；
    （2）与（1）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=BC+CD；
    （3）①与（1）同理可得BD=CF，然后结合图形可得CF=CD-BC；②根据等腰直角三角形的性质求出∠ABC=∠ACB=45°，再根据邻补角的定义求出∠ABD=135°，再根据同角的余角相等求出∠BAD=∠CAF，然后利用“边角边”证明△BAD和△CAF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ACF=∠ABD，再求出∠FCD=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出OC=
    1
    2
    DF，再根据正方形的对角线相等求出OC=OA，从而得到△AOC是等腰三角形．
    解答：（1）证明：①∵∠BAC=90°，AB=AC，
    ∴∠ABC=∠ACB=45°，
    ∵四边形ADEF是正方形，
    ∴AD=AF，∠DAF=90°，
    ∵∠BAC=∠BAD+∠DAC=90°，
    ∠DAF=∠CAF+∠DAC=90°，
    ∴∠BAD=∠CAF，
    在△BAD和△CAF中，
    AB=AC
    ∠BAD=∠CAF
    AD=AF
    ，
    ∴△BAD≌△CAF（SAS），
    ∴∠ACF=∠ABD=45°，
    ∴∠ACF+∠ACB=90°，
    ∴BD⊥CF；
    ②由①△BAD≌△CAF可得BD=CF，
    ∵BD=BC-CD，
    ∴CF=BC-CD；

    （2）与（1）同理可得BD=CF，
    所以，CF=BC+CD；

    （3）①与（1）同理可得，BD=CF，
    所以，CF=CD-BC；
    ②∵∠BAC=90°，AB=AC，
    ∴∠ABC=∠ACB=45°，
    则∠ABD=180°-45°=135°，
    ∵四边形ADEF是正方形，
    ∴AD=AF，∠DAF=90°，
    ∵∠BAC=∠BAF+∠CAF=90°，
    ∠DAF=∠BAD+∠BAF=90°，
    ∴∠BAD=∠CAF，
    在△BAD和△CAF中，
    AB=AC
    ∠BAD=∠CAF
    AD=AF
    ，
    ∴△BAD≌△CAF（SAS），
    ∴∠ACF=∠ABD=180°-45°=135°，
    ∴∠FCD=∠ACF-∠ACB=90°，
    则△FCD为直角三角形，
    ∵正方形ADEF中，O为DF中点，
    ∴OC=
    1
    2
    DF，
    ∵在正方形ADEF中，OA=
    1
    2
    AE，AE=DF，
    ∴OC=OA，
    ∴△AOC是等腰三角形．
    点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的判定，以及同角的余角相等的性质，此类题目通常都是用同一种思路求解，在（1）中找出证明三角形全等的思路是解题的关键．
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    5
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