Question

4．已知，BC∥OA，∠B=∠A=100°，试回答下列问题：
（1）如图①，求证：OB∥AC．
（2）如图②，若点E、F在线段BC上，且满足∠FOC=∠AOC，并且OE平分∠BOF．则∠EOC的度数等于40°；（在横线上填上答案即可）．
（3）在（2）的条件下，若平行移动AC，如图③，那么∠OCB：∠OFB的值是否随之发生变化？若变化，试说明理由；若不变，求出这个比值．
（4）在（3）的条件下，如果平行移动AC的过程中，若使∠OEB=∠OCA，求∠OCA度数．

Answer 1

分析 （1）由BC∥OA得∠B+∠O=180°，所以∠O=180°-∠B=80°，则∠A+∠O=180°，根据平行线的判定即可得到OB∥AC；
（2）由OE平分∠BOF得到∠BOE=∠FOE，加上∠FOC=∠AOC，所以∠EOF+∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOB=40°；
（3）由BC∥OA得到OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，加上∠FOC=∠AOC，则∠AOF=2∠AOC，所以∠OFB=2∠OCB；
（4）设∠AOC的度数为x，则∠OFB=2x，根据平行线的性质得∠OEB=∠AOE，则∠OEB=∠EOC+∠AOC=40°+x，再根据三角形内角和定理得∠OCA=180°-∠AOC-∠A=80°-x，利用∠OEB=∠OCA得到40°+x=80°-x，解得x=20°，所以∠OCA=80°-x=60°．

解答 解：（1）∵BC∥OA，
∴∠B+∠O=180°，
∴∠O=180°-∠B=80°，
而∠A=100°，
∴∠A+∠O=180°，
∴OB∥AC；

（2）∵OE平分∠BOF，
∴∠BOE=∠FOE，
而∠FOC=∠AOC，
∴∠EOF+∠COF=$\frac{1}{2}$∠AOB=$\frac{1}{2}$×80°=40°，
故答案为40°；

（3）不改变．
∵BC∥OA，
∴∠OCB=∠AOC，∠OFB=∠AOF，
∵∠FOC=∠AOC，
∴∠AOF=2∠AOC，
∴∠OFB=2∠OCB，
即∠OCB：∠OFB的值为1：2；

（4）设∠AOC的度数为x，则∠OFB=2x，
∵∠OEB=∠AOE，
∴∠OEB=∠EOC+∠AOC=40°+x，
而∠OCA=180°-∠AOC-∠A=180°-x-100°=80°-x，
∵∠OEB=∠OCA，
∴40°+x=80°-x，解得x=20°，
∴∠OCA=80°-x=80°-20°=60°．

点评 本题考查了平行线的判定与性质：同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．熟练掌握平行线的判定与性质是解本题的关键．