Question

如图，已知△ABC是等边三角形，D，E分别在边BC，AC上，且CD=CE，连接DE并延长至点F，使EF=AE，连接AF，BE和CF
（1）请找出图中全等三角形，用符号“≌”表示；
（2）判断四边形ABDF是怎样的四边形，并说明理由．

Answer 1

（1）△ABE≌△CAF，△BEC≌△FCD，△EFC≌△EDB；
证明：（以△EFC≌△EDB为例）
∵△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60°，
∵CD=CE，
∴△EDC是等边三角形，
∴EC=DE，∠EDC=∠DEC=60°，
∴∠BDE=∠FEC=120°
∴BC-CD=AC-CE，
∴BD=AE，
又∵EF=AE，
∴BD=FE，
在△BDE和△FEC中
∵，
∴△BDE≌△FEC（SAS）．

（2）四边形ABDF是平行四边形，
证明：∵△ABC是等边三角形，且CD=CE，
∴∠ABD=∠FDC=∠DCE=60°AB=BC，
∴AB∥FD，
∵EF=AE，
∴∠EAF=∠AFE=∠AEF=60°，
∵AF∥BC，
∴四边形ABDF是平行四边形．
分析：（1）根据等边三角形的性质定理，即可找到全等的三角形；
（2）根据等边三角形的性质，即可求出∠ABD=∠FDC=∠DCE=60°，∠EAF=∠AFE=∠AEF=60°推出AB∥FD，AF∥BC，然后依据平行四边形的判定，即可判定四边形ABDF是平行四边形．
点评：本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定及性质，解题的关键在于找到全等三角形，结合相关的性质定理求出相等的角．