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    10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=a（x+2）2+4交x轴于点A、B，交y轴于点D，点C是抛物线的顶点，连接AC、BC，OB=1，点P、Q分别是线段AB、AC上的动点（点P不与A、B点重合）．

    （1）求抛物线的函数关系式．
    （2）如图①，若∠CPQ=∠CAB，是否存在点P使△CPQ为等腰三角形，并求点P的坐标．
    （3）如图②，连接AD与抛物线的对称轴交于点M，在抛物线上是否存在一点N，使以点A、M、P、N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，直接写出点N坐标；若不存在说明理由．

    分析 （1）因为OB=1，所以B的坐标为（0，1），把将B（0，1）代入抛物线的解析式即可求出a的值；
    （2）点P使△CPQ为等腰三角形，则由两种情况，一种是∠CPQ=∠CQP，另一种是∠CPQ=∠PCQ；
    （3）若点A、M、P、N为顶点的四边形为平行四边形，所以N的纵坐标与M的纵坐标相同或相反，所以求出M的坐标即可，而求出直线AD的解析式后，将x=-2代入直线AD的解析式即可求出M的坐标．然后注意求出N的坐标后，还要讨论点P的位置是否在线段AB上．

    解答 解：（1）∵OB=1，
    ∴B的坐标为（1，0），
    把B（1，0）代入y=a（x+2）2+4，
    ∴0=9a+4，
    ∴a=-$\frac{4}{9}$，
    ∴抛物线的解析式为y=-$\frac{4}{9}$（x+2）2+4；

    （2）当∠CPQ=∠CQP时，
    ∵∠CPQ=∠CAB，
    ∴∠CQP=∠CAB，
    此时Q与A重合，
    ∴AC=PC，
    ∴由抛物线的对称性可知
    此时P与B重合，不符合题意，
    当∠CPQ=∠PCQ时，
    ∵∠CPQ=∠CAB，
    ∴∠PCQ=∠CAB，
    ∴AP=PC，
    令y=0代入y=-$\frac{4}{9}$（x+2）2+4，
    ∴x=-5或x=1，
    ∴A（-5，0），
    ∵顶点C的坐标为（-2，4），
    ∴AP2=（x+5）2，
    PC2=（x+2）2+42，
    ∴（x+5）2=（x+2）2+42，
    ∴x=-$\frac{5}{6}$，
    ∴P的坐标为（-$\frac{5}{6}$，0），
    综上所述，当△CPQ为等腰三角形，点P的坐标为（-$\frac{5}{6}$，0）；

    （3）设点P的坐标为（m，0），-5＜m＜1
    令x=0代入y=-$\frac{4}{9}$（x+2）2+4，
    ∴y=$\frac{20}{9}$，
    ∴D的坐标为（0，$\frac{20}{9}$），
    设直线AD的解析式为y=kx+b，
    把A（-5，0）和D（0，$\frac{20}{9}$）代入y=kx+b，
    ∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{20}{9}=b}\\{0=-5k+b}\end{array}\right.$，
    解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{4}{9}}\\{b=\frac{20}{9}}\end{array}\right.$，
    ∴直线AD的解析式为y=$\frac{4}{9}$x+$\frac{20}{9}$，
    令x=-2代入y=$\frac{4}{9}$x+$\frac{20}{9}$，
    ∴y=$\frac{4}{3}$，
    ∴M的坐标为（-2，$\frac{4}{3}$），
    当点N在x轴上方时，如图1，
    此时，MN∥AP，
    ∴N的纵坐标为$\frac{4}{3}$，
    把y=$\frac{4}{3}$代入y=-$\frac{4}{9}$（x+2）2+4，
    ∴x=-2±$\sqrt{6}$，
    ∴N的坐标为（-2$±\sqrt{6}$，$\frac{4}{3}$），
    此时以点A、M、P、N为顶点的四边形为平行四边形时，
    MN=AP=$\sqrt{6}$，
    ∴m+5=$\sqrt{6}$
    ∴m=-5+$\sqrt{6}$，符合题意；
    当点N在x轴下方时，
    过点N作NF⊥x轴于点F，
    设抛物线的对称轴与x轴交于点E，
    此时N的纵坐标为-$\frac{4}{3}$，
    把y=-$\frac{4}{3}$代入y=-$\frac{4}{9}$（x+2）2+4，
    ∴x=-2±2$\sqrt{3}$，
    当x=-2-2$\sqrt{3}$时，如图2，
    以点A、M、P、N为顶点的四边形为平行四边形时，
    此时AF=PE=2$\sqrt{3}$-3，
    ∴-2-m=2$\sqrt{3}$-3，
    ∴m=1-2$\sqrt{3}$，符合题意，
    当x=-2+2$\sqrt{3}$时，如图3，
    以点A、M、P、N为顶点的四边形为平行四边形时，
    此时AE=PF=3，
    ∴m-（-2+2$\sqrt{3}$）=3，
    ∴m=1+2$\sqrt{3}$，不符合题意，
    ∴此情况不存在，
    综上所述，当N的坐标为（-2$±\sqrt{6}$，$\frac{4}{3}$）或（-2-2$\sqrt{3}$，-$\frac{4}{3}$）时，点A、M、P、N为顶点的四边形为平行四边形．

    点评 本题考查二次函数的综合问题，涉及待定系数法求解析式，等腰三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，综合程度较高，考查学生灵活运用知识的能力．

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