Question

“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的短直角边的长为1．这直角三角形都用很细的金属丝围成，飞镖不会扎在这些金属丝上．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上），则投掷一次飞镖扎在中间小正方形黑色区域的概率是

1

5

．
（1）求直角三角形的长直角边的长；
（2）连续以同样的要求向飞镖板投掷两支飞镖，求投中位置为一黑一白的概率．（请结合树状图或列表加以解答）

Answer 1

分析：（1）根据几何概率的意义，表示出小正方形的面积，再求出大正方形的面积，根据投掷一次飞镖扎在中间小正方形黑色区域的概率是

1

5

，即可得出长直角边的值；
（2）根据投掷一次飞镖扎在中间小正方形黑色区域的概率是

1

5

，可以列出图表得出连续以同样的要求向飞镖板投掷两支飞镖，投中位置为一黑一白的概率．

解答：（1）解：∵“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．其直角三角形的短直角边的长为1，
∴设长的直角边为x，则小正方形的面积为（x-1）²，
∴阴影部分面积为：（x-1）²，
∵投掷一次飞镖扎在中间小正方形黑色区域的概率是

1

5

，
∴大正方形面积为：（1+x ²），
∴5（x-1）²=1+x ²，
解得：x₁=0.5（不合题意舍去），x₂=2，
∴直角三角形的长直角边的长为：2；

（2）根据题意得出，如图所示：

	黑	白	白	白	白
黑	黑黑	黑白	黑白	黑白	黑白
白	黑白	白白	白白	白白	白白
白	黑白	白白	白白	白白	白白
白	黑白	白白	白白	白白	白白
白	黑白	白白	白白	白白	白白

∴连续以同样的要求向飞镖板投掷两支飞镖，投中位置为一黑一白的概率为：

8

25

．

点评：此题主要考查了几何概率的求法以及勾股定理的应用，根据题意将求出大正方形的面积进而求出另一直角边的长是解决问题的关键．